Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

João vai pintar figuras compostas por quadrados e triângulos. Cada quadrado pode ser pintado de azul, vermelho ou verde e cada triângulo de azul, vermelho ou amarelo, de modo que polígonos com um lado comum não tenham a mesma cor. Em cada um dos itens abaixo, determine de quantas maneiras João pode pintar a figura correspondente.

Figura ilustrativa composta por um triângulo central pintado de vermelho e três quadrados adjacentes aos seus três lados: um quadrado inferior pintado de verde e dois quadrados maiores (à direita e acima à esquerda) pintados de azul.

a) Figura do item a, formada por um quadrado na parte inferior e um triângulo retângulo na parte superior, compartilhando um lado horizontal.

b) Figura do item b, formada por um triângulo retângulo central sem cor e três quadrados sem cor adjacentes a cada um de seus três lados.

c) Figura do item c, formada pela mesma configuração do item b (um triângulo central com três quadrados adjacentes aos seus lados), acrescida de três triângulos externos adjacentes aos lados livres do quadrado inferior.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

João vai pintar figuras compostas por quadrados e triângulos. Cada quadrado pode ser pintado de azul, vermelho ou verde e cada triângulo de azul, vermelho ou amarelo, de modo que polígonos com um lado comum não tenham a mesma cor. Em cada um dos itens abaixo, determine de quantas maneiras João pode pintar a figura correspondente.

Figura ilustrativa composta por um triângulo central pintado de vermelho e três quadrados adjacentes aos seus três lados: um quadrado inferior pintado de verde e dois quadrados maiores (à direita e acima à esquerda) pintados de azul.

a) Figura do item a, formada por um quadrado na parte inferior e um triângulo retângulo na parte superior, compartilhando um lado horizontal.

b) Figura do item b, formada por um triângulo retângulo central sem cor e três quadrados sem cor adjacentes a cada um de seus três lados.

c) Figura do item c, formada pela mesma configuração do item b (um triângulo central com três quadrados adjacentes aos seus lados), acrescida de três triângulos externos adjacentes aos lados livres do quadrado inferior.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Se João pintar o quadrado de azul, ele terá as escolhas vermelho e amarelo para o triângulo. Se ele pintar o quadrado de vermelho, ele terá as escolhas azul e amarelo para o triângulo. Finalmente, se ele pintar o quadrado de verde, ele terá as escolhas azul, vermelho e amarelo para o triângulo. Logo ele pode pintar a figura de 2 + 2 + 3 = 7 maneiras diferentes.

b) 1ª solução: Se João escolher azul ou vermelho para o triângulo, cada um dos quadrados poderá ser pintado de duas cores; se ele escolher amarelo para o triângulo, cada quadrado poderá ser pintado de três cores. Logo o número da maneiras diferentes de pintar essa figura é 2 \times 2 \times 2 \times 2 + 1 \times 3 \times 3 \times 3 = 43.

2ª solução:

• Se o quadrado de baixo é amarelo, o triângulo do meio pode ser verde, com 3 \times 3 = 9 possibilidades para pintar os quadrados restantes, ou vermelho ou azul; em cada um desses casos, há 2 \times 2 = 4 modos de pintar os quadrados. Assim, há 9 + 2 \times 4 = 17 possibilidades com o quadrado inferior amarelo.

• Se o quadrado de baixo é vermelho ou azul, o triângulo do meio pode ser verde, novamente com 9 possibilidades para pintar os quadrados restantes ou azul/vermelho, com 4 possibilidades para os quadrados restantes. Assim, há 2 \times (9 + 4) = 26 possibilidades com o quadrado inferior azul ou vermelho.

• Portanto, a figura pode ser colorida de 17 + 26 = 43 modos.

c) 1a solução: Se João escolher azul ou vermelho para o quadrado sombreado, os triângulos adjacentes poderão ser pintados de 2 \times 2 \times 2 \times 2 maneiras diferentes; em metade dessas maneiras o triângulo sombreado é azul ou vermelho, caso em que os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 2 \times 2 maneiras e na outra metade ele é amarelo, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 3 \times 3 maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times (1 \times 2 \times 2 + 1 \times 3 \times 3) = 208 maneiras diferentes.

[Figura: Desenho geométrico composto por quadrados e triângulos conectados em torno de um quadrado central sombreado em cinza e um triângulo sombreado em cinza adjacente a ele]

Se ele escolher verde para o quadrado sombreado, os triângulos adjacentes poderão ser pintados de 3 \times 3 \times 3 \times 3 maneiras diferentes; em dois terços dessas maneiras o triângulo sombreado é azul ou vermelho, caso em que os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 2 \times 2 maneiras e no terço restante ele é amarelo, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 3 \times 3 maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de 3 \times 3 \times 3 \times (2 \times 2 \times 2 + 1 \times 3 \times 3) = 459 maneiras diferentes. No total, a figura poderá ser pintada de 208 + 459 = 667 maneiras diferentes.

2a solução: Se João escolher azul ou vermelho para o triângulo sombreado, os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 2 \times 2 \times 2 maneiras diferentes; em metade dessas maneiras o quadrado sombreado é azul ou vermelho, caso em que os triângulos adjacentes poderão ser pintados de 2 \times 2 \times 2 maneiras e na outra metade ele é amarelo, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 3 \times 3 \times 3 maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de 2 \times 2 \times 2 \times (1 \times 2 \times 2 \times 2 + 1 \times 3 \times 3 \times 3) = 280 maneiras diferentes.

Se ele escolher amarelo para o triângulo sombreado, os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 3 \times 3 \times 3 maneiras diferentes; em dois terços dessas maneiras o quadrado sombreado é azul ou vermelho, caso em que os triângulos adjacentes poderão ser pintados de 2 \times 2 \times 2 maneiras e no terço restante ele é verde, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de 3 \times 3 \times 3 maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de 3 \times 3 \times (2 \times 2 \times 2 \times 2 + 1 \times 3 \times 3 \times 3) = 387 maneiras diferentes. No total, a figura poderá ser pintada de 280 + 387 = 667 maneiras diferentes.

3ª solução:

Contando separadamente as formas de pintar para cada um dos 7 modos de pintar o quadrado central e o triângulo superior

Quadrado central	Triângulo de cima	Triângulos de baixo	Quadrados de cima	Possibilidades
Azul	Vermelho	2 \times 2 \times 2	2 \times 2	2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
Vermelho	Azul	Idem	Idem	2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
Azul	Amarelo	2 \times 2 \times 2	3 \times 3	2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 72
Vermelho	Amarelo	Idem	Idem	2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 72
Verde	Vermelho	3 \times 3 \times 3	2 \times 2	3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 1 = 108
Verde	Azul	Idem	Idem	3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 108
Verde	Amarelo	3 \times 3 \times 3	3 \times 3	3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 4 = 243

Total: 32 + 32 + 72 + 72 + 108 + 108 + 243 = 667

Agrupando as possibilidades azul/vermelho para cada figura

Quadrado central	Triângulo de cima	Triângulos de baixo	Quadrados de cima	Possibilidades
Azul ou Vermelho (2)	Vermelho ou Azul (1)	2 \times 2 \times 2	2 \times 2	2 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64
Azul ou Vermelho (2)	Amarelo (1)	2 \times 2 \times 2	3 \times 3	2 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 144
Verde (1)	Vermelho, Azul (2)	3 \times 3 \times 3	2 \times 2	1 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 216
Verde (1)	Amarelo (1)	3 \times 3 \times 3	3 \times 3	1 \times 1 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243

Total: 64 + 144 + 216 + 243 = 667

4ª solução (usando a 2ª solução do item (b)):

• Se o quadrado inferior é amarelo, os triângulos de baixo podem ser pintados de 3 \times 3 \times 3 = 27 modos. Se ele é azul ou vermelho, os triângulos de baixo podem ser pintados de 2 \times 2 \times 2 = 8 modos.

• Logo, o número total de possibilidades é 17 \times 27 + 26 \times 8 = 459 + 208 = 667 17 \times 27 + 26 \times 8 = 459 + 208 = 667

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Resolução comentada

a) Escolha primeiro a cor do quadrado e depois a do triângulo, que não pode repetir a cor do quadrado.

Quadrado verde: o triângulo pode ser azul, vermelho ou amarelo, ou seja, 3 maneiras.
Quadrado azul: o triângulo pode ser vermelho ou amarelo, ou seja, 2 maneiras.
Quadrado vermelho: o triângulo pode ser azul ou amarelo, ou seja, 2 maneiras.

Total: 3+2+2=7.

7 maneiras.

b) Os três quadrados só encostam no triângulo central. Entre si eles se tocam apenas em vértices, então não há restrição entre eles. Cada quadrado só precisa ter cor diferente da do triângulo.

Triângulo amarelo: cada quadrado tem 3 cores possíveis, então 3^3=27.
Triângulo azul: cada quadrado só pode ser vermelho ou verde, então 2^3=8.
Triângulo vermelho: cada quadrado só pode ser azul ou verde, então 2^3=8.

Total: 27+8+8=43.

43 maneiras.

c) Agora há três triângulos externos, e cada um divide um lado apenas com o quadrado de baixo, que chamamos de S. Cada triângulo externo precisa ter cor diferente da de S. Os outros dois quadrados precisam ter cor diferente da do triângulo central T. Além disso, S também precisa ter cor diferente de T.

Se S é verde, cada triângulo externo tem 3 cores possíveis: 3^3=27 maneiras. Se S é azul ou vermelho, cada triângulo externo tem 2 cores: 2^3=8 maneiras.

T amarelo: os outros dois quadrados têm 3\cdot 3=9 maneiras. S pode ser verde, azul ou vermelho, o que dá 27+8+8=43 para S com seus triângulos. Total: 9\cdot 43=387.
T azul: os outros dois quadrados têm 2\cdot 2=4 maneiras. S pode ser verde ou vermelho, o que dá 27+8=35. Total: 4\cdot 35=140.
T vermelho: os outros dois quadrados têm 4 maneiras. S pode ser verde ou azul, o que dá 27+8=35. Total: 4\cdot 35=140.

Somando: 387+140+140=667.

667 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗