PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2011
Em cada casa de um quadriculado 4 \times 4 deve ser colocado um dos números 1, 3, 7 e 8, de modo que em cada linha, coluna ou diagonal apareçam os quatro números.
a) Qual é a soma dos números nos quatro quadradinhos centrais quando o quadriculado é preenchido de acordo com o enunciado?
b) Suponha que 1, 3, 7 e 8 sejam colocados na diagonal, como na figura. De quantas maneiras é possível completar o quadriculado de acordo com o enunciado?
| 1 | |||
|---|---|---|---|
| 3 | |||
| 7 | |||
| 8 |
c) Qual é o maior valor possível para a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas quando o quadriculado é preenchido de acordo com o enunciado?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada linha, coluna e diagonal contém 1, 3, 7 e 8, então soma 1+3+7+8=19.
Sejam C a soma das quatro casas centrais e K a soma das quatro casas dos cantos.
- As duas diagonais juntas cobrem exatamente os cantos e as casas centrais. Logo K + C = 19+19 = 38.
- Some as linhas 1 e 4 e as colunas 1 e 4: 4\cdot 19 = 76. Nessa soma, cada casa da borda aparece uma vez e cada canto aparece duas vezes. Como a borda vale 76 - C (total do quadriculado menos o centro), temos 76 = (76 - C) + K, ou seja, K = C.
De 1 e 2: 2C = 38, logo C = 19.
A soma é 19.
b) Com a diagonal principal 1,3,7,8, a outra diagonal também precisa ter os quatro números. Veja o que cada casa dela pode receber:
- a_{14}: a linha 1 já tem 1 e a coluna 4 já tem 8, então a_{14}\in\{3,7\}.
- a_{41}: a linha 4 já tem 8 e a coluna 1 já tem 1, então a_{41}\in\{3,7\}.
- a_{23}: a linha 2 já tem 3 e a coluna 3 já tem 7, então a_{23}\in\{1,8\}.
- a_{32}: a linha 3 já tem 7 e a coluna 2 já tem 3, então a_{32}\in\{1,8\}.
Portanto \{a_{14},a_{41}\}=\{3,7\} e \{a_{23},a_{32}\}=\{1,8\}, o que dá 4 casos. Analisando cada um:
- a_{14}=3, a_{41}=7, a_{23}=8, a_{32}=1: a linha 1 precisa de 7 e 8 nas colunas 2 e 3, mas a coluna 3 já tem 8 e 7. Impossível.
- a_{14}=7, a_{41}=3, a_{23}=1, a_{32}=8: a linha 1 precisa de 3 e 8 nas colunas 2 e 3, mas a coluna 2 já tem 3 e 8. Impossível.
- a_{14}=3, a_{41}=7, a_{23}=1, a_{32}=8: o preenchimento é forçado e fecha:
| 1 | 7 | 8 | 3 |
| 8 | 3 | 1 | 7 |
| 3 | 8 | 7 | 1 |
| 7 | 1 | 3 | 8 |
- a_{14}=7, a_{41}=3, a_{23}=8, a_{32}=1: o preenchimento é forçado e fecha:
| 1 | 8 | 3 | 7 |
| 7 | 3 | 8 | 1 |
| 8 | 1 | 7 | 3 |
| 3 | 7 | 1 | 8 |
Há 2 maneiras.
c) Qualquer preenchimento válido tem uma diagonal principal que é uma permutação de 1, 3, 7, 8. Trocando os nomes dos números, ele vira um dos dois quadriculados do item (b). Com a=1, b=3, c=7, d=8, esses quadriculados são:
- Modelo A: linhas acdb, dbac, bdca, cabd.
- Modelo B: linhas adcb... (confira abaixo).
O modelo B, em letras, tem linhas adcb? Na verdade, a linha 1 é 1,8,3,7 = a\,d\,b\,c, e as demais seguem do quadro acima.
Contando as letras nas seis casas cinzentas:
- Modelo A: casas c,d,a,d,a,b. As letras a e d aparecem 2 vezes cada, e b e c aparecem 1 vez cada.
- Modelo B: casas d,c,d,a,b,a. Mais uma vez, duas letras aparecem 2 vezes e as outras duas, 1 vez.
A soma é (valor das letras duplicadas)\cdot 2 + (valor das outras duas). Ela é máxima quando as letras duplicadas recebem 7 e 8:
Isso é possível. Tomando o modelo A com a=8, d=7, b=1, c=3, obtemos
| 8 | 3 | 7 | 1 |
| 7 | 1 | 8 | 3 |
| 1 | 7 | 3 | 8 |
| 3 | 8 | 1 | 7 |
Cada linha, coluna e diagonal tem 1, 3, 7 e 8. As casas cinzentas valem 3+7+8+7+8+1=34.
O maior valor é 34.
Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗