Na figura, os lados do triângulo DEF são paralelos aos lados do triângulo retângulo ABC. Os pontos H, D, F e G estão alinhados e 0 \le x \le 5.
a) Calcule o comprimento de GH em função de x.
b) Mostre que CG = FG = \dfrac{5x}{4}\text{ cm}.
c) Faça o gráfico da área A do triângulo DEF em função de x.
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Resolução comentada
a) Coloque A na origem, com AB no eixo horizontal e AC no vertical. A reta GH é paralela a AC e está a x cm dela, pois DF fica a x cm de AC. Logo AH = x e HB = 20 - x.
Os triângulos HBG e ABC são semelhantes, porque GH \parallel AC. Então:
b) Como GH\parallel AC, o ângulo entre GF e BC é o ângulo \hat C do triângulo ABC. Nele, \sen \hat C = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{20}{25}=\dfrac45.
CG: a distância de G ao lado AC é x (é a distância entre as retas paralelas GH e AC). Essa distância vale CG\cdot\sen\hat C. Assim, x = CG\cdot\dfrac45, e então CG=\dfrac{5x}{4}.
FG: o ponto F está a x cm de BC. A distância de F à reta BC vale FG\cdot\sen\hat C. Assim, x = FG\cdot\dfrac45, e então FG=\dfrac{5x}{4}.
Portanto CG = FG = \dfrac{5x}{4} cm.
CG=FG=\dfrac{5x}{4} cm
c) O triângulo DEF tem lados paralelos aos de ABC, então é semelhante a ABC. O lado DF corresponde a AC.
Primeiro, calculamos DF. D está a x cm de AB, logo HD = x. Então:
DF = GH - HD - FG = 15-\frac{3x}{4}-x-\frac{5x}{4}=15-3x.
A razão de semelhança é k=\dfrac{15-3x}{15}=1-\dfrac{x}{5}.
A área de ABC é \dfrac{15\cdot 20}{2}=150. A área é multiplicada por k^2:
A = 150\left(1-\frac{x}{5}\right)^2 = 6(5-x)^2,\quad 0\le x\le5.
O gráfico é um arco de parábola, decrescente e com concavidade para cima. Alguns pontos:
x
0
1
2
3
4
5
A (cm²)
150
96
54
24
6
0
O arco começa em (0,150) e termina em (5,0), tangente ao eixo x nesse ponto (vértice da parábola).
A(x)=6(5-x)^2, com 0\le x\le 5: arco de parábola decrescente de (0,150) a (5,0).
