Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

A linha poligonal da figura parte da origem e passa por todos os pontos do plano que têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a,b) é chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1,2) é 5 cm.

a) Determine a lonjura dos pontos (3,2) e (0,4).

b) Quantos pontos de coordenadas inteiras estão contidos no interior e nos lados do quadrado cujos vértices são (0,0), (n,0), (n,n) e (0,n) ?

c) Explique por que a lonjura do ponto (n,n) é n^2 + n.

d) Qual é o ponto cuja lonjura é 425?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

A linha poligonal da figura parte da origem e passa por todos os pontos do plano que têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a,b) é chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1,2) é 5 cm.

a) Determine a lonjura dos pontos (3,2) e (0,4).

b) Quantos pontos de coordenadas inteiras estão contidos no interior e nos lados do quadrado cujos vértices são (0,0), (n,0), (n,n) e (0,n) ?

c) Explique por que a lonjura do ponto (n,n) é n^2 + n.

d) Qual é o ponto cuja lonjura é 425?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Por contagem direta, vemos que a lonjura de (3,2) é 11 e a de (0,4) é 16.

[Figura: Duas malhas quadriculadas no plano cartesiano ilustrando o caminho da poligonal em vermelho sobre os pontos de coordenadas inteiras. À esquerda, a trajetória partindo da origem (0,0) e terminando em (3,2); à direita, a trajetória partindo de (0,0) e terminando em (0,4).]

b) Os pontos de coordenadas inteiras no interior e nos lados desse quadrado formam n+1 linhas, cada uma com n+1 pontos; o total de pontos no interior e nos lados desse quadrado é então (n+1)^2. Excluindo a borda desse quadrado, sobra um quadrado de n-1 linhas e n-1 colunas, que contém (n-1)^2 pontos inteiros; segue que o número de pontos na borda do quadrado original é (n+1)^2 - (n-1)^2 = 4n.

Pode-se também calcular o número de pontos de coordenadas inteiras no quadrado notando que de (0,0) a (0,1) a poligonal passa por 1+3=2^2 pontos; de (0,0) a (2,0) a poligonal passa por 1+3+5=3^2 pontos, de (0,0) a (0,3) a poligonal passa por 1+3+5+7=4^2 pontos e assim por diante. Logo o número de pontos inteiros do quadrado que tem um de seus vértices no ponto (n,n) é (n+1)^2.

c) 1ª solução: para ir de (0,0) até (1,1) são 2 passos, de (1,1) até (2,2) são 4 passos, de (2,2) até (3,3) são 6 passos e assim por diante. Logo para chegar ao ponto (n,n) serão necessários 2+4+6+\ldots+2n = 2\cdot(1+2+3+\ldots+n) = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} = n^2+n passos.

2ª solução: A poligonal chega ao ponto (n,n) passando por todos os pontos com coordenadas inteiras do interior e da borda do quadrado do item anterior, com a exceção dos n pontos da horizontal de (0,n) até (n-1,n), caso n seja ímpar ou da vertical de (n,0) até (n,n-1), caso n seja par. Logo a poligonal passa por (n+1)^2 - n = n^2+n+1 pontos, incluindo seus extremos, e seu comprimento é então n^2+n.

d) 1ª solução: Como 425 = (20^2+20)+5 e 20^2+20 é a lonjura do ponto (20,20), vemos que para chegar ao ponto de lonjura 425 devemos chegar a (20,20) e andar mais 5 segmentos ao longo da poligonal. Como 20 é par, esses segmentos partirão do ponto (20,20) na vertical para baixo; assim chegamos ao ponto (20,15), que é o ponto procurado.

2ª solução:para ir de (0,0) até (1,1) são 2 passos; de (1,1) até (2,2) são 4 passos, de (2,2) até (3,3) são 6 passos e assim por diante. Logo, para chegar ao ponto (20,20), serão necessários 2+4+6+\ldots+40 = 2\cdot(1+2+3+\ldots+20) = 2\cdot 210 = 420 passos. A partir daí a solução procede como acima.

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Resolução comentada

a) Pelo desenho, a poligonal passa por (3,0) depois de percorrer 9 cm. Isso vale porque (2,0) tem lonjura 8 e o segmento seguinte, de (2,0) a (3,0), mede 1 cm. De (3,0) ela sobe, e (3,2) fica 2 cm acima, então a lonjura de (3,2) é 9+2=11 cm.

O ponto (0,4) aparece logo depois de (0,3). Como (3,3) tem lonjura 12, o trecho até (0,3) acrescenta 3, ou seja, 12+3=15. Subir 1 cm até (0,4) dá 16 cm.

Respostas: 11 cm e 16 cm.

b) O quadrado tem n+1 pontos de coordenadas inteiras em cada lado, de 0 a n, nas duas direções. O total é

(n+1)(n+1)=(n+1)^2.

Resposta: (n+1)^2 pontos.

c) A poligonal só anda segmentos de 1 cm entre pontos inteiros vizinhos. Assim, a lonjura de um ponto é o número de pontos visitados até ele, menos 1, porque a origem não conta como passo.

Antes de chegar a (n,n), a poligonal já passou por todos os pontos do quadrado de lado n-1, que são n^2 pontos. Depois, ela percorre os pontos do lado seguinte:

se n é ímpar, sobe de (n,0) a (n,n);
se n é par, vai de (0,n) a (n,n).

Nos dois casos são n+1 pontos novos, e o último deles é (n,n).

O total de pontos visitados até (n,n) é n^2+n+1. Descontando a origem, a lonjura é

n^2+n+1-1=n^2+n.

Resposta: a lonjura de (n,n) é n^2+n, pois até ali a poligonal passa por n^2+n+1 pontos, em passos de 1 cm.

d) Procuramos n com n^2+n próximo de 425. Como 20\cdot 21=420, o ponto (20,20) tem lonjura 420.

Como n=20 é par, a poligonal chega a (20,20) vindo da esquerda e depois desce pela reta x=20 até (20,0), assim como faz de (2,2) a (2,0) e de (4,4) a (4,0).

Faltam 425-420=5 cm, que são percorridos descendo 5 unidades: (20,20-5)=(20,15).

Resposta: (20,15).

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗