Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola corresponde a um dos pontos da figura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais. Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição.

Circunferência dividida em 10 partes iguais por pontos numerados de 1 a 10 em sentido horário

a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência?

b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo retângulo?

Nota adesiva com o texto: "Um ângulo inscrito em uma circunferência é reto se e somente se o arco correspondente é uma semicircunferência."

c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um retângulo?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola corresponde a um dos pontos da figura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais. Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição.

Circunferência dividida em 10 partes iguais por pontos numerados de 1 a 10 em sentido horário

a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência?

b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo retângulo?

Nota adesiva com o texto: "Um ângulo inscrito em uma circunferência é reto se e somente se o arco correspondente é uma semicircunferência."

c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um retângulo?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
1^a solução: O princípio multiplicativo mostra que o número de maneiras de retirar duas bolas, uma a uma, é 10 \times 9 = 90. Dessas retiradas, há dez que determinam diâmetros, a saber, (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10), (6,1), (7,2), (8,3), (9,4) e (10,5). Logo a probabilidade pedida é \frac{10}{90} = \frac{1}{9}.

2^a solução: Retira-se uma bola qualquer. Das nove possibilidades de retirar outra bola, apenas uma determinará, junto com a primeira, um diâmetro. Logo a probabilidade de retirar duas bolas que determinam um diâmetro é \frac{1}{9}.

3^a solução: É possível retirar duas bolas de \binom{10}{2} = 45 maneiras diferentes. Dessas retiradas há cinco que determinam diâmetros; logo a probabilidade procurada é \frac{5}{45} = \frac{1}{9}.

b)
1^a solução: O princípio multiplicativo mostra que o número de maneiras de retirar três bolas, uma a uma, é 10 \times 9 \times 8 = 720. Para que uma retirada determine um triângulo retângulo, ela deve conter duas bolas a e b que determinam um diâmetro e uma terceira bola x distinta dessas duas; ordenando essas bolas das 3! = 6 maneiras possíveis, vemos que há seis retiradas que consistem dessas bolas. Como há cinco pares de bolas que determinam um diâmetro e a bola extra pode ser escolhida de oito maneiras diferentes, o número de retiradas que determinam um triângulo retângulo inscrito é 6 \times 5 \times 8 = 240. Logo a probabilidade procurada é \frac{240}{720} = \frac{1}{3}.

*2^a solução (também mais adequada ao enunciado alternativo):*Uma vez retiradas três bolas, podemos formar com elas trêsgrupos de duas bolas. Observamos que se um desses grupos determina um diâmetro então isso não pode acontecer para os outros dois grupos. Como cada grupo de duas bolas tem probabilidade \frac{1}{9} de determinar um diâmetro, a probabilidade procurada é então \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}.

3^a solução: Há \binom{10}{3} = 120 maneiras de escolher três bolas, ou seja, há 120 triângulos inscritos com vértices nos vértices do decágono. Por outro lado, cada diâmetro determina oito triângulos retângulos inscritos, num total de 5 \times 8 = 40; ou seja, há 40 escolhas de três bolas que determinam triângulos retângulos inscritos. A probabilidade procurada é então \frac{40}{120} = \frac{1}{3}.

c)
1^a solução: O número de retiradas de quatro bolas é 10 \times 9 \times 8 \times 7 e cada uma dessas retiradas determina um quadrilátero inscrito. Por outro lado, as bolas de uma retirada que determina um retângulo inscrito devem determinar dois diâmetros. Há dez escolhas para a primeira bola de uma tal retirada e a bola diametralmente oposta pode então aparecer em qualquer uma das três posições seguintes; as outras duas bolas podem então ser escolhidas de oito maneiras diferentes, correspondentes aos quatro diâmetros ainda não determinados. Assim, as retiradas que determinam um triângulo retângulo são em número de 10 \times 3 \times 8 e a probabilidade procurada é então

\frac{10 \times 3 \times 8}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{1}{21}

2^a solução: Para que as quatro bolas retiradas determinem um retângulo, as três primeiras devem determinar um triângulo retângulo, o que acontece com probabilidade \frac{1}{3}; uma vez isso feito, há uma única escolha para a quarta bola entre as sete remanescentes. Logo a probabilidade procurada é \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21}.

3^a solução: Há \binom{10}{4} = 210 maneiras de escolher quatro bolas, ou seja, há 210 quadriláteros inscritos com vértices nos vértices do decágono. Por outro lado, um retângulo inscrito é determinado por dois diâmetros, ou seja, há \binom{5}{2} = 10 retângulos inscritos, correspondentes a dez escolhas de quatro bolas. Logo a probabilidade procurada é \frac{10}{210} = \frac{1}{21}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Duas bolas podem ser escolhidas de \binom{10}{2}=45 modos, e todos são igualmente prováveis.

O segmento é um diâmetro quando os pontos são diametralmente opostos. Como os 10 pontos dividem a circunferência em partes iguais, cada ponto tem um único oposto, a 5 posições dele: (1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10). Há então 5 diâmetros.

P=\frac{5}{45}=\frac{1}{9}

Resposta: \dfrac{1}{9}.

b) Três bolas podem ser escolhidas de \binom{10}{3}=120 modos.

Pela nota, o ângulo inscrito é reto se e somente se o arco que ele enxerga é uma semicircunferência. Ou seja, o triângulo inscrito é retângulo se e somente se um de seus lados é um diâmetro, que será a hipotenusa.

Para formar um triângulo retângulo:

escolhemos o diâmetro: 5 modos;
escolhemos o terceiro vértice entre os outros 8 pontos: 8 modos.

Só há um ângulo reto por triângulo, então não há contagem repetida: 5\cdot 8=40 triângulos retângulos.

P=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}

Resposta: \dfrac{1}{3}.

c) Quatro bolas podem ser escolhidas de \binom{10}{4}=210 modos.

Um quadrilátero inscrito é retângulo quando tem quatro ângulos retos. Pela nota, isso exige que cada diagonal seja um diâmetro. Reciprocamente, dois diâmetros distintos determinam quatro pontos que formam um retângulo, pois suas diagonais são iguais e se cortam no meio, no centro.

Assim, cada retângulo corresponde a uma escolha de 2 dos 5 diâmetros: \binom{5}{2}=10 retângulos.

P=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}

Resposta: \dfrac{1}{21}.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗