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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura ao lado mostra a planificação de uma pirâmide; quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na figura é 1 + 3 + 4 = 8.

Planificação de um tetraedro com quatro triângulos numerados de 1 a 4, com seta indicando um ponto preto no topo da face 1, que após dobradura forma uma pirâmide

a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide acima?

b) A figura mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto indicado?

Planificação de um cubo com faces quadradas numeradas de 1 a 6 e uma seta apontando para um ponto preto no vértice inferior direito da face 3, que após ser montado forma um cubo

c) A figura mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto A?

Planificação de um octaedro com faces triangulares numeradas de 1 a 8, indicando os vértices marcados por pontos A e B, que após ser montado forma um octaedro regular

d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior?

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Cada vértice do tetraedro pertence a três das quatro faces, ou seja, só fica de fora uma face. Como 1+2+3+4=10, o valor de um vértice é 10 menos o número da face que não o contém.

Para o maior valor, tiramos a menor face, a de número 1. O vértice que não toca a face 1 vale 2+3+4=9.

O vértice do exemplo, que não toca a face 2, vale 10-2=8, como no enunciado.

O maior valor é 9.

b) O ponto está no canto inferior direito da face 3. Ao dobrar, a face 3 sobe pela aresta de baixo da face 1. A aresta direita da face 3 vai se juntar com a aresta de baixo da face 6, que parte do canto comum às faces 1, 3 e 6.

Assim, o ponto coincide com o canto inferior direito da face 6. Esse canto também pertence à face 2, que fica à direita da 6.

O vértice está, portanto, nas faces 3, 6 e 2:

3+6+2=11

O valor é 11.

c) Em um octaedro, cada vértice pertence a 4 faces. Em volta do ponto A, na planificação, aparecem exatamente 4 triângulos: 4, 5, 6 e 7. Logo, essas são todas as faces desse vértice:

4+5+6+7=22

O valor é 22.

d) Na planificação, o ponto B toca só as faces 1 e 2. Faltam duas faces, que descobrimos ao dobrar.

A faixa de triângulos 5, 6, 7, 8, 1, 2 fecha-se em anel, porque a aresta esquerda do triângulo 5 se cola com a aresta direita do triângulo 2. Nessa colagem, o ponto B coincide com o vértice da extremidade esquerda da base da face 5, que é também vértice da face 4.

Assim, B pertence às faces 1, 2, 5 e 4:

1+2+4+5=12

O valor é 12.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Poliedros e relação de Euler.

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Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗