Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é 5 + 8 + 2 = 15 e a soma dos números da segunda coluna é 9 + 7 + 8 = 24. Nesse exemplo, as seis somas são 6, 12, 15, 15, 18 e 24.
a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando?
b) Explique por que não é possível que, em um quadrado do Gabriel, todas as somas sejam números pares.
c) Preencha o quadrado de modo que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22.
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Resolução comentada
a) Os números de 1 a 9 somam 1+2+\dots+9=45. Cada número está em uma única linha, então as somas das três linhas dão 45. Cada número também está em uma única coluna, então as somas das três colunas também dão 45. Logo, as seis somas juntas valem 45+45=90.
As cinco somas conhecidas somam 9+13+14+17+18=71. A que falta é 90-71=19.
A soma que falta é 19.
b) As somas das três linhas dão 45, que é ímpar. Se as três somas das linhas fossem pares, o total seria par, pois soma de números pares é par. Isso é impossível, já que o total é 45. Portanto, ao menos uma das somas das linhas é ímpar (o mesmo vale para as colunas).
Não é possível, porque as somas das três linhas devem totalizar 45, que é ímpar, e três números pares somam um número par.
c) As seis somas totalizam 7+13+14+16+18+22=90, como esperado. Precisamos separar essas somas em dois grupos de três, um para as linhas e outro para as colunas, cada grupo somando 45. A única separação possível é 7+16+22=45 e 13+14+18=45. Digamos que as linhas somam 7, 16 e 22 e as colunas somam 13, 14 e 18. Se der certo, pode-se transpor o quadrado depois.
A soma 7 com números distintos só pode ser 1+2+4. A soma 22 pode ser 5+8+9 ou 6+7+9. Testando 5+8+9, sobram 3,6,7, que somam 16. As linhas ficam:
linha de 7: \{1,2,4\}
linha de 16: \{3,6,7\}
linha de 22: \{5,8,9\}
Agora monte as colunas com um número de cada linha. Para somar 18, as opções são 4+6+8 ou 2+7+9. Para somar 14, as opções começam por 2: 2+3+9 ou 2+7+5. Como o 2 só pode ficar em uma coluna, a coluna 18 é 4+6+8. Para somar 13 sobra o 1: 1+3+9. A coluna restante é 2+7+5=14.
O quadrado fica:
1
2
4
7
3
7
6
16
9
5
8
22
13
14
18
Confira: 1+2+4=7, 3+7+6=16, 9+5+8=22, 1+3+9=13, 2+7+5=14 e 4+6+8=18.
Uma resposta possível é o quadrado com linhas (1, 2, 4), (3, 7, 6) e (9, 5, 8).
