Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é 5 + 8 + 2 = 15 e a soma dos números da segunda coluna é 9 + 7 + 8 = 24. Nesse exemplo, as seis somas são 6, 12, 15, 15, 18 e 24.

6	9	3	18
4	7	1	12
5	8	2	15
15	24	6

a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando?

b) Explique por que não é possível que, em um quadrado do Gabriel, todas as somas sejam números pares.

c) Preencha o quadrado de modo que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é 5 + 8 + 2 = 15 e a soma dos números da segunda coluna é 9 + 7 + 8 = 24. Nesse exemplo, as seis somas são 6, 12, 15, 15, 18 e 24.

6	9	3	18
4	7	1	12
5	8	2	15
15	24	6

a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando?

b) Explique por que não é possível que, em um quadrado do Gabriel, todas as somas sejam números pares.

c) Preencha o quadrado de modo que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Somar as somas das linhas é o mesmo que somar todos os números no quadrado; assim, a soma das somas das linhas é 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. O mesmo se pode dizer da soma das somas das colunas, e concluímos que a soma de todas as somas é 2\times 45=90. Logo a soma que está faltando é 90-(9+13+14+17+18)=90-71=19.

b) 1ª solução: Se todas as somas fossem pares, as somas das três linhas seriam pares e sua soma seria par. Mas isso é impossível pois, como vimos acima, a soma das somas das três linhas é 45, que é um número ímpar.

2ª solução: Ao distribuir os números no quadrado, uma linha pode ter no máximo três números ímpares. Por outro lado, há cinco números ímpares de 1 a 9, a saber, 1,3,5,7 e 9. As maneiras de escrever 5 como soma de inteiros menores ou iguais a 3 são 5=2+3=1+1+3=1+2+2. Como em qualquer dessas somas aparecem as parcelas 1 ou 3, concluímos que pelo menos uma linha de um quadrado preenchido conterá um ou três números ímpares, sendo os restantes pares. Em qualquer caso, obtemos uma linha cuja soma é ímpar.

c) Vamos estender um pouco essa solução para determinar não apenas um, mas todos os quadrados que têm as somas dadas. Antes de começar, notamos que trocar a ordem de duas linhas (ou de duas colunas) não altera as somas de um quadrado.

O seis números do resultado final devem ser separados em dois grupos de três números cada, cujas somas sejam iguais a 45. No primeiro grupo, cada número é a soma de uma linha e, no outro, a soma de cada coluna. De acordo com o item anterior, cada grupo deve conter um número ímpar; logo 7 e 13 devem ficar em conjuntos diferentes. Segue imediatamente que a única possibilidade é separar as somas nos grupos 7,16, 22 e 13,14,18; podemos então supor que as somas das linhas são 7,16,22 e as somas das colunas são 13,14,18.

Como a única maneira de obter a soma 7 é 1+2+4=7, podemos começar a preencher o quadrado como à direita. Suponhamos que a soma da segunda linha seja 22; as únicas possibilidades para a soma 22 são 5+8+9=22 e 6+7+9=22, que vamos considerar separadamente.

1	2	4	7

Suponhamos primeiro que na segunda linha aparecem os números 5, 8 e 9. Aqui o 5 não pode aparecer na coluna do 4, pois 4+5=9 e para obter uma das somas 13, 14 ou 18 nessa coluna o terceiro número deveria ser 4, 5 ou 9, respectivamente, o que não pode acontecer pois o 4 já foi usado enquanto que 5 e 9 aparecem na segunda linha; argumento análogo mostra que o 9 também não pode aparecer na coluna do 4, ou seja, o 8 aparece abaixo do 4. Como 4+8=12 e tanto o 1 como o 2 já foram usados, a soma dessa coluna não pode ser 13 ou 14; logo a soma é 18. Podemos agora completar o quadrado das seguintes maneiras:

1	2	4	7
		8	22
		6	16
		18

1	2	4	7
5	9	8	22
7	3	6	16
13	14	18

1	2	4	7
9	5	8	22
3	7	6	16
13	14	18

Deixamos para o(a) leitor(a) mostrar que, quando na segunda linha aparecem os números 6, 7 e 9, as possibilidades são

1	2	4	7
7	9	6	22
5	3	8	16
13	14	18

1	2	4	7
9	6	7	22
8	5	3	16
18	13	14

1	2	4	7
9	7	6	22
3	5	8	16
13	14	18

1	2	4	7
9	7	6	22
8	5	3	16
18	13	14

Desse modo, existem apenas seis quadrados com as somas do enunciado, a menos de troca de posição de linhas , (troca de posição de colunas e troca das linhas pelas colunas.

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Resolução comentada

a) Os números de 1 a 9 somam 1+2+\dots+9=45. As três linhas juntas usam todos os números, então a soma das três somas de linha é 45. O mesmo vale para as três colunas. Logo, as seis somas juntas dão 45+45=90.

As cinco somas conhecidas dão:

9+13+14+17+18=71

A soma que falta é 90-71=19.

Conferência: 9+17+19=45 e 13+14+18=45, então as seis somas se dividem em duas trincas de soma 45, como deve ser.

A soma que falta é 19.

b) Cada linha tem soma par e as três linhas juntas somam 45. Como a soma de três números pares é par, teríamos 45 par, o que é absurdo, pois 45 é ímpar.

Portanto, é impossível que todas as somas sejam pares.

Não é possível, porque a soma das três linhas é 45, que é ímpar, e três números pares não somam um ímpar.

c) As seis somas somam 7+13+14+16+18+22=90. Precisamos separá-las em duas trincas de soma 45, uma para as linhas e outra para as colunas.

O 7 deve ficar com 16 e 22, pois 7+16+22=45. As outras opções com o 7 não fecham 45. Então as outras três somas, 13, 14 e 18, formam a outra trinca (13+14+18=45).

Podemos tomar as linhas com somas 7, 16 e 22 e as colunas com 13, 14 e 18.

A única forma de obter 7 com três números distintos é 1+2+4. Sobram 3,5,6,7,8,9, que devem formar uma linha de soma 22 e outra de soma 16. Uma divisão possível é 5+8+9=22 e 3+6+7=16.

Agora é só distribuir os números nas colunas, um de cada linha, para obter 13, 14 e 18:

Coluna de 18: 4+6+8=18.
Coluna de 13: 1+3+9=13.
Coluna de 14: 2+7+5=14.

O quadrado fica:

1	2	4	7
3	7	6	16
9	5	8	22
13	14	18

Conferência: as linhas dão 7, 16 e 22, e as colunas dão 13, 14 e 18.

Quadrado: linhas (1, 2, 4), (3, 7, 6) e (9, 5, 8).

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗