Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é 5 + 8 + 2 = 15 e a soma dos números da segunda coluna é 9 + 7 + 8 = 24. Nesse exemplo, as seis somas são 6, 12, 15, 15, 18 e 24.

Quadrado 3x3 preenchido com números de 1 a 9. Primeira linha: 6, 9, 3 (soma 18 à direita). Segunda linha: 4, 7, 1 (soma 12 à direita). Terceira linha: 5, 8, 2 (soma 15 à direita). Abaixo das três colunas aparecem as respectivas somas: 15, 24 e 6.

a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando?

b) Explique por que não é possível que, em um quadrado do Gabriel, todas as somas sejam números pares.

c) Preencha o quadrado de modo que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22.

Quadrado 3x3 com as nove casas em branco para preenchimento.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é 5 + 8 + 2 = 15 e a soma dos números da segunda coluna é 9 + 7 + 8 = 24. Nesse exemplo, as seis somas são 6, 12, 15, 15, 18 e 24.

Quadrado 3x3 preenchido com números de 1 a 9. Primeira linha: 6, 9, 3 (soma 18 à direita). Segunda linha: 4, 7, 1 (soma 12 à direita). Terceira linha: 5, 8, 2 (soma 15 à direita). Abaixo das três colunas aparecem as respectivas somas: 15, 24 e 6.

a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando?

b) Explique por que não é possível que, em um quadrado do Gabriel, todas as somas sejam números pares.

c) Preencha o quadrado de modo que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22.

Quadrado 3x3 com as nove casas em branco para preenchimento.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Somar as somas das linhas é o mesmo que somar todos os números no quadrado; assim, a soma das somas das linhas é 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. O mesmo se pode dizer da soma das somas das colunas, e concluímos que a soma de todas as somas é 2\times 45 = 90. Logo a soma que está faltando é 90-(9+13+14+17+18) = 90-71=19.

b) 1^a solução: Se todas as somas fossem pares, as somas das três linhas seriam pares e sua soma seria par. Mas isso é impossível pois, como vimos acima, a soma das somas das três linhas é 45, que é um número ímpar.

2^a solução: Ao distribuir os números no quadrado, uma linha pode ter no máximo três números ímpares. Por outro lado, há cinco números ímpares de 1 a 9, a saber, 1,3,5,7 e 9. As maneiras de escrever 5 como soma de inteiros menores ou iguais a 3 são 5 = 2+3 = 1+1+3 = 1+2+2. Como em qualquer dessas somas aparecem as parcelas 1 ou 3, concluímos que pelo menos uma linha de um quadrado preenchido conterá um ou três números ímpares, sendo os restantes pares. Em qualquer caso, obtemos uma linha cuja soma é ímpar.

c) Vamos estender um pouco essa solução para determinar não apenas um, mas todos os quadrados que têm as somas dadas. Antes de começar, notamos que trocar a ordem de duas linhas (ou de duas colunas) não altera as somas de um quadrado.

O seis números do resultado final devem ser separados em dois grupos de três números cada, cujas somas sejam iguais a 45. No primeiro grupo, cada número é a soma de uma linha e, no outro, a soma de cada coluna. De acordo com o item anterior, cada grupo deve conter um número ímpar; logo 7 e 13 devem ficar em conjuntos diferentes. Segue imediatamente que a única possibilidade é separar as somas nos grupos 7,16, 22 e 13,14,18; podemos então supor que as somas das linhas são 7,16,22 e as somas das colunas são 13,14,18.

Como a única maneira de obter a soma 7 é 1+2+4=7, podemos começar a preencher o quadrado como à direita. Suponhamos que a soma da segunda linha seja 22; as únicas possibilidades para a soma 22 são 5+8+9=22 e 6+7+9=22, que vamos considerar separadamente.

1	2	4	7

1	2	4	7
		8	22
		6	16
		18

Suponhamos primeiro que na segunda linha aparecem os números 5, 8 e 9. Aqui o 5 não pode aparecer na coluna do 4, pois 4+5=9 e para obter uma das somas 13, 14 ou 18 nessa coluna o terceiro número deveria ser 4, 5 ou 9, respectivamente, o que não pode acontecer pois o 4 já foi usado enquanto que 5 e 9 aparecem na segunda linha; argumento análogo mostra que o 9 também não pode aparecer na coluna do 4, ou seja, o 8 aparece abaixo do 4. Como 4+8=12 e tanto o 1 como o 2 já foram usados, a soma dessa coluna não pode ser 13 ou 14; logo a soma é 18. Podemos agora completar o quadrado das seguintes maneiras:

1	2	4	7
5	9	8	22
7	3	6	16
13	14	18

1	2	4	7
9	5	8	22
3	7	6	16
13	14	18

Deixamos para o(a) leitor(a) mostrar que, quando na segunda linha aparecem os números 6, 7 e 9, as possibilidades são

1	2	4	7
7	9	6	22
5	3	8	16
13	14	18

1	2	4	7
9	6	7	22
8	5	3	16
18	13	14

1	2	4	7
9	7	6	22
3	5	8	16
13	14	18

1	2	4	7
9	7	6	22
8	5	3	16
18	13	14

Desse modo, existem apenas seis quadrados com as somas do enunciado, a menos de troca de posição de linhas , (troca de posição de colunas e troca das linhas pelas colunas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada número aparece em uma linha e em uma coluna. Por isso, a soma das três somas de linha é 1+2+\dots+9=45, e a soma das três somas de coluna também é 45.

As seis somas juntas valem, então, 45+45=90.

As cinco somas dadas totalizam 9+13+14+17+18=71.

A que falta é 90-71=19.

19

b) Pelo item anterior, as somas das três linhas dão 45 no total, que é ímpar.

Se as três somas de linha fossem pares, a soma delas também seria par. Isso é impossível, pois 45 é ímpar.

Portanto as seis somas não podem ser todas pares.

Não é possível, pois as somas das linhas totalizam 45 (ímpar), e a soma de três números pares seria par.

c) As seis somas dadas valem 7+13+14+16+18+22=90, como esperado.

É preciso separá-las em três de linha e três de coluna, cada trio com soma 45. A única escolha possível é 7+16+22=45 e 13+14+18=45. Vou usar as linhas 7,16,22 e as colunas 13,14,18.

Soma 7 com três números distintos: só 1+2+4. Essa é a linha 1.
Sobram 3,5,6,7,8,9 para as linhas de soma 22 e 16. Uma divisão possível é 5+8+9=22 e 3+6+7=16.
Cada coluna tem um número de cada linha. O 1 precisa estar numa coluna de soma 13, 14 ou 18. Com um número da linha de 22 e outro da linha de 16, isso só funciona para 1+5+7=13.
Sobram \{2,4\}, \{8,9\} e \{3,6\}. Tomando 2+9+3=14, resta 4+8+6=18.

O quadrado fica (somas das linhas à direita):

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1&2&4\\ \hline 5&9&8\\ \hline 7&3&6\\ \hline \end{array}

Linhas: 7,\ 22,\ 16. Colunas: 1+5+7=13, 2+9+3=14 e 4+8+6=18.

Quadrado: linhas 1\,2\,4 / 5\,9\,8 / 7\,3\,6.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 1. Prova oficial ↗