Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

A figura mostra um dodecágono regular decomposto em seis triângulos equiláteros, seis quadrados e um hexágono regular, todos com lados de mesma medida.

Dodecágono regular decomposto em um hexágono regular central cercado alternadamente por seis quadrados e seis triângulos equiláteros.

a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1\ \text{cm}^2, qual é a área do hexágono?

b) A figura abaixo foi obtida retirando doze triângulos equiláteros de um dodecágono regular cujo lado mede 1\ \text{cm}. Qual é a área dessa figura?

Figura em formato de estrela de doze pontas na cor cinza, inscrita em um dodecágono regular de contorno tracejado, obtida pela retirada de doze triângulos equiláteros cujas bases são os lados do dodecágono.

c) A figura abaixo foi obtida retirando dois hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo lado mede 1\ \text{cm}. Qual é a área dessa figura?

Figura na cor cinza obtida de um dodecágono regular pela retirada de dois hexágonos regulares, um na parte superior e outro na parte inferior, cujos lados horizontais externos coincidem com os lados superior e inferior tracejados do dodecágono.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um dodecágono regular decomposto em seis triângulos equiláteros, seis quadrados e um hexágono regular, todos com lados de mesma medida.

Dodecágono regular decomposto em um hexágono regular central cercado alternadamente por seis quadrados e seis triângulos equiláteros.

a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1\ \text{cm}^2, qual é a área do hexágono?

b) A figura abaixo foi obtida retirando doze triângulos equiláteros de um dodecágono regular cujo lado mede 1\ \text{cm}. Qual é a área dessa figura?

Figura em formato de estrela de doze pontas na cor cinza, inscrita em um dodecágono regular de contorno tracejado, obtida pela retirada de doze triângulos equiláteros cujas bases são os lados do dodecágono.

c) A figura abaixo foi obtida retirando dois hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo lado mede 1\ \text{cm}. Qual é a área dessa figura?

Figura na cor cinza obtida de um dodecágono regular pela retirada de dois hexágonos regulares, um na parte superior e outro na parte inferior, cujos lados horizontais externos coincidem com os lados superior e inferior tracejados do dodecágono.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A figura ao lado mostra que o hexágono pode ser decomposto em seis triângulos iguais aos triângulos que fazem parte do dodecágono. Como cada um desses triângulos tem área 1\text{ cm}^2, segue que o hexágono tem área 6\text{ cm}^2.

[Figura: Dodecágono regular decomposto internamente em um hexágono central formado por seis triângulos equiláteros, cercado por seis quadrados e seis triângulos equiláteros]

b) [Figura: Dodecágono com os doze triângulos externos removidos, formando uma estrela de 12 pontas cinza]

1^a solução: A figura do item anterior mostra que o dodecágono pode ser decomposto em doze triângulos equiláteros iguais e seis quadrados. Desse modo, ao retirar doze triângulos do dodecágono, a estrela que sobra tem área igual à área de seis quadrados. Como o lado do dodecágono mede 1\text{ cm}, cada quadrado tem área 1\text{ cm}^2 e assim a área da estrela é 6\text{ cm}^2.

2^a solução: Podemos decompor o hexágono central da estrela em seis triângulos e “encaixá-los” como indicado na figura à direita. A figura assim obtida tem a mesma área da estrela e consiste de seis quadrados de lado 1\text{ cm}; sua área é então 6\text{ cm}^2.

[Figura: Esquema da estrela onde triângulos cinza são deslocados do centro para as pontas externas, completando seis quadrados]

c) [Figura: Dodecágono sombreado em cinza com dois hexágonos brancos recortados, cada um subdividido em seis triângulos equiláteros]

A figura ao lado mostra que os dois hexágonos retirados têm a mesma área que doze triângulos equiláteros; como no item b), a região cinza tem a mesma área que seis quadrados de lado 1\text{ cm}; sua área é então 6\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a) O hexágono regular se divide em 6 triângulos equiláteros congruentes, ligando o centro aos vértices. Como o lado do hexágono é igual ao lado dos triângulos da figura, cada um desses 6 triângulos é congruente aos triângulos da figura e tem área 1\ \text{cm}^2.

6\times 1 = 6\ \text{cm}^2

A área do hexágono é 6\ \text{cm}^2.

b) Com lado 1\ \text{cm}, um triângulo equilátero tem área \frac{\sqrt3}{4}\ \text{cm}^2 e um quadrado tem área 1\ \text{cm}^2. O hexágono, pelo item (a), equivale a 6 triângulos.

A área do dodecágono é a soma das peças da figura 1: 6 triângulos, 6 quadrados e o hexágono, que vale 6 triângulos.

A_{dodec}=12\cdot\frac{\sqrt3}{4}+6\cdot 1 = 3\sqrt3+6

A figura cinza é o dodecágono menos 12 triângulos equiláteros de lado 1, que somam 12\cdot\frac{\sqrt3}{4}=3\sqrt3.

A=(3\sqrt3+6)-3\sqrt3=6\ \text{cm}^2

A área é 6\ \text{cm}^2.

c) Os dois hexágonos retirados têm lado 1\ \text{cm}. Cada um tem área 6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}, e os dois juntos somam 3\sqrt3.

A figura cinza é o dodecágono, de área 3\sqrt3+6, menos os dois hexágonos:

A=(3\sqrt3+6)-3\sqrt3=6\ \text{cm}^2

A área é 6\ \text{cm}^2.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗