PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2010
Juliana quer dar a cada uma das 26 letras A, B, C, D,..., W, X, Y, Z do alfabeto um valor numérico diferente de zero, de tal modo que A \times C = B, B \times D = C, C \times E = D, e assim por diante, até X \times Z = Y.
a) Se Juliana der a A e B os valores 5 e 7, respectivamente, quais serão os valores de C, D e E?
b) Mostre que G = A, quaisquer que sejam os valores que Juliana der para A e B.
c) Se Juliana der valores para A e B tais que A \times B = 2010, qual será o valor do produto A \times B \times C \times D \times \dots \times W \times X \times Y \times Z?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada igualdade X\times Z=Y diz que a letra do meio é o produto das vizinhas. Então cada letra, a partir da terceira, é a anterior dividida pela retrasada: C=\dfrac{B}{A}, D=\dfrac{C}{B}, E=\dfrac{D}{C}.
- C=\dfrac{7}{5}
- D=\dfrac{7/5}{7}=\dfrac{1}{5}
- E=\dfrac{1/5}{7/5}=\dfrac{1}{7}
Conferindo: C\times E=\dfrac75\cdot\dfrac17=\dfrac15=D.
C=\dfrac{7}{5}, D=\dfrac{1}{5}, E=\dfrac{1}{7}.
b) Vamos deixar A e B quaisquer, ambos diferentes de zero, e usar a mesma regra:
- C=\dfrac{B}{A}
- D=\dfrac{C}{B}=\dfrac{B/A}{B}=\dfrac{1}{A}
- E=\dfrac{D}{C}=\dfrac{1/A}{B/A}=\dfrac{1}{B}
- F=\dfrac{E}{D}=\dfrac{1/B}{1/A}=\dfrac{A}{B}
- G=\dfrac{F}{E}=\dfrac{A/B}{1/B}=A
Logo G=A, para quaisquer A e B. Está mostrado que G=A.
c) Como G=A e, do mesmo modo, H=\dfrac{G}{F}=\dfrac{A}{A/B}=B, as letras G e H repetem A e B. Daí a sequência se repete de 6 em 6:
O produto de cada bloco de 6 letras é
As 26 letras formam 4 blocos completos (24 letras, produto 1) mais as letras Y e Z. Elas ocupam as posições 25 e 26, que correspondem às posições 1 e 2 do bloco, ou seja, Y=A e Z=B.
O produto total é 1\cdot A\cdot B=2010.
O produto vale 2010.
Assunto: Sequências e padrões.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗