Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

A figura ilustra o funcionamento de uma porta de garagem, representada pelo segmento XY. Ao mover o ponto X, o ponto A desliza por um trilho vertical, representado pelo segmento BD. Algumas das medidas na figura são AC = BC = CY = 0{,}5\text{ m} e AX = 1\text{ m}.

Ilustração do mecanismo da porta de garagem. Mostra o trilho vertical com o ponto D na base e o ponto A sobre o trilho. A barra da porta passa por A, tendo a extremidade inferior direita X e o ponto C à esquerda do trilho, de onde parte uma haste para cima em direção ao trilho.

a) Na figura abaixo, o ponto X está a 0{,}2\text{ m} do trilho BD. Qual é a distância de C ao trilho?

Ilustração da porta de garagem com o trilho vertical BD, a barra XY passando por A e C, e a haste BC. Uma linha tracejada horizontal perpendicular ao trilho indica a distância de 0,2 m entre o ponto X e o trilho BD.

b) Mostre que a altura do ponto Y com relação ao chão não se altera com o movimento da porta.

c) Se o para-choque de um carro tem altura de 0{,}4\text{ m}, como na figura, qual deve ser a distância mínima entre o trilho e o para-choque para que ele não seja atingido ao abrir a porta?

Ilustração da porta de garagem (trilho BD, barra XY com pontos A e C, e haste BC) e a frente de um carro à direita. O para-choque do carro tem altura indicada de 0,4 m em relação ao chão, e a distância horizontal entre o trilho e o para-choque está indicada com um ponto de interrogação (?).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

A figura ilustra o funcionamento de uma porta de garagem, representada pelo segmento XY. Ao mover o ponto X, o ponto A desliza por um trilho vertical, representado pelo segmento BD. Algumas das medidas na figura são AC = BC = CY = 0{,}5\text{ m} e AX = 1\text{ m}.

Ilustração do mecanismo da porta de garagem. Mostra o trilho vertical com o ponto D na base e o ponto A sobre o trilho. A barra da porta passa por A, tendo a extremidade inferior direita X e o ponto C à esquerda do trilho, de onde parte uma haste para cima em direção ao trilho.

a) Na figura abaixo, o ponto X está a 0{,}2\text{ m} do trilho BD. Qual é a distância de C ao trilho?

Ilustração da porta de garagem com o trilho vertical BD, a barra XY passando por A e C, e a haste BC. Uma linha tracejada horizontal perpendicular ao trilho indica a distância de 0,2 m entre o ponto X e o trilho BD.

b) Mostre que a altura do ponto Y com relação ao chão não se altera com o movimento da porta.

c) Se o para-choque de um carro tem altura de 0{,}4\text{ m}, como na figura, qual deve ser a distância mínima entre o trilho e o para-choque para que ele não seja atingido ao abrir a porta?

Ilustração da porta de garagem (trilho BD, barra XY com pontos A e C, e haste BC) e a frente de um carro à direita. O para-choque do carro tem altura indicada de 0,4 m em relação ao chão, e a distância horizontal entre o trilho e o para-choque está indicada com um ponto de interrogação (?).

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) 1ª solução: Na figura ao lado temos XS = 0,2 e queremos achar CR. Notamos que os ângulos indicados na figura com vértices em C e X são iguais, pois são determinados pelas paralelas CR e XS e pela transversal XY. Logo os triângulos retângulos ARC e ASX são semelhantes e temos

\frac{CR}{XS} = \frac{AC}{AX}

ou seja,

CR = XS \times \frac{AC}{AX} = 0,2 \times \frac{0,5}{1} = 0,1.

[Figura: Esquema geométrico com o trilho vertical BD, o segmento XY intersectando BD em A, o ponto C em AY e os segmentos perpendiculares CR e XS, formando os triângulos retângulos ARC e ASX.]

Podemos também argumentar como segue. A razão de semelhança entre os triângulos ARC e ASX é igual a \frac{AC}{Ax} = \frac{0,5}{1} = 0,5; como os segmentos CR e XS são correspondentes, segue que o comprimento de CR é a metade do comprimento de AX, ou seja, é igual a 0,1\text{ m}.

[Figura: Esquema destacando o ângulo \alpha no vértice A com o trilho vertical, tanto para o triângulo ASX quanto para o triângulo ABY, opostos pelo vértice.]

2ª solução: Denotemos por \alpha o ângulo \hat{D}AX, como na figura à esquerda. Como \hat{D}AX e \hat{B}AY são opostos pelos vértices, temos também \hat{B}AY = \alpha. Nos triângulos retângulos ASX e ARC, temos

XS = AX \cdot \operatorname{sen}\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha \text{ e } CR = AC \cdot \operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\alpha \text{ . Logo } CR = \frac{1}{2} XS = 0,1\text{ m.}

b) 1ª solução: Como AC = BC = YC os triângulos ACB e BCY são isósceles; podemos então marcar os ângulos \alpha e \beta como na figura à direita. A soma dos ângulos do triângulo ABY é 2\alpha + 2\beta = 180^\circ; donde \alpha + \beta = 90^\circ. Logo BY é perpendicular ao trilho BD, ou seja, BY é horizontal qualquer que seja a posição de Y.

[Figura: Triângulo ABY com o vértice C pertencente a AY e os ângulos \alpha e \beta indicados nos triângulos isósceles ACB e BCY.]

2ª solução: Como AC = BC = YC, podemos traçar um círculo com centro C e passando por A, B e Y, como na figura à esquerda. Como os pontos A, C e Y estão alinhados, o segmento AY é um diâmetro desse círculo. Logo o ângulo \hat{A}BY está inscrito no semicírculo, donde sua medida é 90^\circ; com antes, segue que BY é horizontal qualquer que seja a posição de Y.

[Figura: Circunferência de centro C passando por Y, B e A, tendo o segmento AY como diâmetro e B pertencente à vertical.]

c) Na figura à direita, queremos calcular DT quando XT = 0,4. Para isso, notamos primeiro que, quando a porta se fecha, XY coincide com BD; logo

BD = XY = XA + AC + CY = 1 + 0,5 + 0,5 = 2.

Como DSTX é um retângulo, temos SD = XT = 0,4 e segue que BS = BD - SD = 2 - 0,4 = 1,6. Por outro lado, os triângulos ASX e ABY são congruentes; de fato, eles são ambos retângulos, seus ângulos em X e Y são iguais (como no item a)) e AX = AY. Logo AS = AB e como BS = 1,6 segue que AS = 0,8. O teorema de Pitágoras nos diz então que

SX = \sqrt{AX^2 - AS^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6

e concluímos que DT = 0,6\text{ m}.

[Figura: Esquema geométrico com a porta XY articulada no ponto C, a reta vertical BD, o retângulo DSTX na base e os segmentos pontilhados indicando as medidas.]

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Resolução comentada

a) Como AX = 1\ \text{m} e X está a 0{,}2\ \text{m} do trilho, o ângulo \theta que a barra faz com a vertical cumpre \sen\theta = \dfrac{0{,}2}{1} = 0{,}2.

O ponto C está na mesma barra, do outro lado de A, com AC = 0{,}5\ \text{m}. Os triângulos retângulos formados por X e por C com o trilho são semelhantes (mesmo ângulo \theta em A). A distância de C ao trilho é então

0{,}5\cdot\sen\theta = 0{,}5\cdot 0{,}2 = 0{,}1\ \text{m}.

A distância de C ao trilho é 0{,}1\ \text{m}.

b) Temos CA = CY = CB = 0{,}5\ \text{m}, e C é o ponto médio de AY. Logo A, B e Y estão na circunferência de centro C e raio 0{,}5\ \text{m}, e AY é um diâmetro.

Pelo teorema de Tales, o ângulo \hat{ABY} é reto. Como AB está sobre o trilho (vertical), BY é horizontal.

Assim, Y está sempre na mesma altura que B, que é fixo. Isso vale em qualquer posição da porta.

A altura de Y é sempre a de B, portanto não muda.

c) Seja \theta o ângulo da barra com a vertical. No triângulo retângulo ABY, a hipotenusa é AY = 1\ \text{m} e AB = \cos\theta.

Com a porta fechada (\theta = 0), a barra de 2\ \text{m} está na vertical, com X no chão. Logo B está a 2\ \text{m} do chão.

A altura de A é 2-\cos\theta. Como X está \cos\theta abaixo de A (pois AX=1), temos

h_X = 2 - 2\cos\theta,\qquad \text{distância de } X \text{ ao trilho} = \sen\theta.

Ao abrir, X sobe e se afasta do trilho. O ponto X é o mais afastado da barra, e é ele que chega primeiro ao para-choque. Ele passa por cima do para-choque se, ao atingir a altura 0{,}4\ \text{m}, já estiver a uma distância do trilho não maior que a do para-choque.

2-2\cos\theta = 0{,}4 \Rightarrow \cos\theta = 0{,}8.
\sen\theta = \sqrt{1-0{,}64} = 0{,}6.

Portanto, quando X está a 0{,}4\ \text{m} de altura, ele está a 0{,}6\ \text{m} do trilho. Se o para-choque estivesse mais perto, X o atingiria antes de chegar a essa altura.

A distância mínima é 0{,}6\ \text{m}.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗