Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

Uma calculadora diferente tem apenas as teclas numéricas de 0 a 9 e duas teclas especiais A e B. Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se 3 ao número que aparece no visor. Nessa calculadora é possível obter 22 a partir do 1 apertando as teclas A e B na ordem BABB, como ilustrado abaixo:

Calculadora com visor e teclas numéricas de 0 a 9 e teclas especiais A e B

1 \xrightarrow{\ B\ } 4 \xrightarrow{\ A\ } 16 \xrightarrow{\ B\ } 19 \xrightarrow{\ B\ } 22

a) Com o 3 no visor, qual é o número que vai aparecer apertando as teclas A e B na ordem BBAB?

b) Mostre como obter 55 a partir do 1 usando as teclas A e B .

c) Explique por que não é possível obter 54 a partir do 2 usando as teclas A e B.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma calculadora diferente tem apenas as teclas numéricas de 0 a 9 e duas teclas especiais A e B. Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se 3 ao número que aparece no visor. Nessa calculadora é possível obter 22 a partir do 1 apertando as teclas A e B na ordem BABB, como ilustrado abaixo:

Calculadora com visor e teclas numéricas de 0 a 9 e teclas especiais A e B

1 \xrightarrow{\ B\ } 4 \xrightarrow{\ A\ } 16 \xrightarrow{\ B\ } 19 \xrightarrow{\ B\ } 22

a) Com o 3 no visor, qual é o número que vai aparecer apertando as teclas A e B na ordem BBAB?

b) Mostre como obter 55 a partir do 1 usando as teclas A e B .

c) Explique por que não é possível obter 54 a partir do 2 usando as teclas A e B.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A seguir vemos o que acontece quando começamos com 3 no visor e apertamos as teclas na ordem BBAB:

3 \xrightarrow{\quad B\quad} 3 + 3 = 6 \xrightarrow{\quad B\quad} 6 + 3 = 9 \xrightarrow{\quad A\quad} 9^2 = 81 \xrightarrow{\quad B\quad} 81 + 3 = 84\ .

Logo o número que vai aparecer no visor é 84.

b) Uma maneira é apertar as teclas na ordem BBABB, como vemos a seguir:

1 \xrightarrow{\quad B\quad} 4 \xrightarrow{\quad B\quad} 7 \xrightarrow{\quad A\quad} 49 \xrightarrow{\quad B\quad} 52 \xrightarrow{\quad B\quad} 55

Outra maneira é apertar a tecla B dezoito vezes seguidas; ainda outra é BA seguida de treze B’s.

c) 1ª solução: Se o número que aparece no visor após apertar as teclas A e B algumas vezes não é um quadrado perfeito, a última tecla apertada foi necessariamente a tecla B. Desse modo, se o 54 aparece no visor, podemos reconstruir parcialmente a sequência das teclas apertadas até chegar a 54:

36 \xrightarrow{\quad B\quad} 39 \xrightarrow{\quad B\quad} 42 \xrightarrow{\quad B\quad} 45 \xrightarrow{\quad B\quad} 48 \xrightarrow{\quad B\quad} 51 \xrightarrow{\quad B\quad} 54

Chegamos a 36, que é um quadrado perfeito. Aqui temos as possibilidades

0 \xrightarrow{\quad B\quad} 3 \xrightarrow{\quad B\quad} 6 \xrightarrow{\quad A\quad} 36

e

9 \xrightarrow{\quad B\quad} 12 \xrightarrow{\quad B\quad} 15 \xrightarrow{\quad B\quad} 18 \xrightarrow{\quad B\quad} 21 \xrightarrow{\quad B\quad} 24 \xrightarrow{\quad B\quad} 27 \xrightarrow{\quad B\quad} 30 \xrightarrow{\quad B\quad} 33 \xrightarrow{\quad B\quad} 36\ .

Como 9 é um quadrado perfeito, essa última sequência nos dá também duas possibilidades, a saber,

0 \xrightarrow{\quad B\quad} 3 \xrightarrow{\quad B\quad} 6 \xrightarrow{\quad B\quad} 9

e

0 \xrightarrow{\quad B\quad} 3 \xrightarrow{\quad A\quad} 9\ .

Vemos assim que é possível chegar a 54 a partir de 0 e 3, mas não a partir de 2.

2ª solução: Se um número inteiro x não é múltiplo de 3 então:

x + 3 não é múltiplo de 3. De fato, se x + 3 fosse múltiplo de 3, poderíamos escrever x + 3 = 3y para algum inteiro y e então x = 3y - 3 = 3(y - 1) seria múltiplo de 3, absurdo.
x^2 não é múltiplo de 3. De fato, os fatores primos de x e x^2 são os mesmos; assim, se 3 não é fator primo de x então também não será fator primo de x^2.
Assim, começando com um número que não é múltiplo de 3 no visor, não é possível chegar a um múltiplo de 3 apertando as teclas A e B. Como 2 não é múltiplo de 3 e 54 = 3 \times 18 é múltiplo de 3, concluimos que não se pode chegar a 54 a partir do 2.

3ª solução: Vamos tentar chegar a 54 a partir do 2. Como 54 - 2 = 52 não é múltiplo de 3, vemos que não é possível usar apenas a tecla B, ou seja, a tecla A deve ser usada pelo menos uma vez. Por outro lado, como 8^2 = 64 > 54 , a tecla A só pode ser usada em números menores ou iguais a 7. Os números obtidos a partir do 2 que são menores ou iguais a 7 são 2, 4 = 2^2 , 5 = 2 + 3 e 7 = 2^2 + 3 ; seus quadrados são 4,16, 25 e 49. A partir de 16, 25 e 49 não podemos usar a tecla A outra vez, e como nenhum desses números difere de 54 por um múltiplo de 3, vemos que a partir deles não é possível chegar a 54; o mesmo argumento se aplica ao 4 e a seu quadrado 16. Logo não é possível obter 54 a partir do 2.

4ª solução: Notamos primeiro que começando do 2 e apertando apenas duas teclas quaisquer, o maior resultado possível é 24 (sequência BA), ou seja, não se chega ao 54. Vamos agora ver o que acontece quando o 2 está no visor e apertamos três teclas.

Seqüência de teclas	Resultado
AAA	256
AAB	19
ABA	49
BAA	125
ABB	10
BAB	28
BBA	64
BBB	11

Podemos eliminar as seqüências AAA, BAA e BBA de nossas considerações, pois elas levam a resultados maiores que 54. Para chegar ao 54 a partir dos resultados das outras seqüências, não podemos usar a tecla A, pois isso nos daria resultados maiores que 54. Por outro lado, a diferença entre 54 e qualquer dos números 19, 49, 10, 28 e 11 não é um múltiplo de 3, ou seja, também não podemos chegar ao 54 a partir desses números apenas com a tecla B. Logo não é possível chegar ao 54 a partir do 2.

5ª solução: Se um número x não é múltiplo de 3 então x + 3 não é múltiplo de 3. O quadrado de x também não é múltiplo de 3, pois os fatores primos de x^2 são os mesmos de x. Daí, como 2 não é múltiplo de 3, usando as teclas A e B sucessivas vezes o número do visor nunca será múltiplo de 3. Como 54 = 3 \times 18 é múltiplo de 3, segue-se que não é possível obtê-lo a partir do 2, usando apenas as teclas A e B.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Vamos aplicar as teclas na ordem B, B, A, B, começando em 3:

B: 3+3=6
B: 6+3=9
A: 9^2=81
B: 81+3=84

O número que aparece é 84.

b) Trabalhe de trás para frente. Para chegar a 55, o último passo pode ser B (vindo de 52). Para chegar a 52, vem B de 49. Como 49=7^2, esse passo é A, vindo de 7. E 7=4+3, 4=1+3.

Invertendo a ordem:

1 \xrightarrow{B} 4 \xrightarrow{B} 7 \xrightarrow{A} 49 \xrightarrow{B} 52 \xrightarrow{B} 55

Basta apertar B, B, A, B, B (BBABB).

c) Vamos olhar o resto da divisão por 3 dos números que aparecem no visor.

A tecla B soma 3, então não muda o resto na divisão por 3.
Começando em 2, o resto é 2. Enquanto só se aperta B, o resto continua 2.
Ao apertar A pela primeira vez, o número é da forma 3k+2 e seu quadrado é 9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1, que deixa resto 1.
Depois disso, o resto é 1. A mantém o resto, pois 1^2=1, e B também.

Assim, todo número obtido a partir do 2 deixa resto 2 (se nunca se usou A) ou resto 1 (se A foi usada). Nunca deixa resto 0. Mas 54=3\cdot 18 é múltiplo de 3, com resto 0.

Portanto, é impossível obter 54 a partir do 2.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Potenciação e radiciação.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗