Dois triângulos retângulos isósceles com catetos de medida 2 são posicionados como mostra a figura 1. A seguir, o triângulo da esquerda é deslocado para a direita. Nas figuras 2 e 3, x indica a distância entre os vértices A e B dos dois triângulos.
Para cada x no intervalo [0,4], seja f(x) a área da região comum aos dois triângulos (em cinza nas figuras).
(a) Calcule f(1) e f(3).
(b) Encontre as expressões de f nos intervalos [0,2] e [2,4] e esboce o seu gráfico.
(c) Qual é a área máxima da região comum aos dois triângulos?
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Resolução comentada
a) Ponha B na origem. Para x\le 2, a região comum é um triângulo retângulo isósceles de base x (sobre a reta), formado pelas duas hipotenusas, que fazem 45^\circ com a base. Sua altura é x/2 e sua área é \frac{x\cdot x/2}{2}=\frac{x^2}{4}.
Assim, f(1)=\frac14.
Para x=3 a região é um pentágono com vértices (1,0), (2,0), (2,1), \left(\tfrac32,\tfrac32\right) e (1,1). Calculo a área subtraindo, do triângulo de B a A (base 3, altura \tfrac32, área \tfrac94), os dois triângulos pequenos que ficam fora da região comum. Cada um é retângulo isósceles com catetos 1, e tem área \tfrac12.
f(3)=\frac94-2\cdot\frac12=\frac54.
Resposta: f(1)=\dfrac14 e f(3)=\dfrac54.
b) Para 0\le x\le 2, vale o que vimos no item (a): f(x)=\dfrac{x^2}{4}.
Para 2\le x\le 4, a região comum é o triângulo de base x (de B a A) e altura x/2, sem os dois triângulos pequenos que ficam de fora. Cada um é retângulo isósceles, e seus catetos medem x-2: o cateto vertical do triângulo da esquerda está em x-2 e o do triângulo da direita está em 2, então sobram x-2 de cada lado.
