Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Uma folha de papel retangular ABCD de 12\text{ cm} por 16\text{ cm} (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2). O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD. Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4).

Figura 1: retângulo ABCD com dimensões 12 cm de altura e 16 cm de largura, com suas diagonais se interceptando em M e uma tesoura cortando a diagonal AC Figuras 2, 3 e 4: etapas das dobras, mostrando o triângulo retângulo ABC, a dobra em BM e a dobra em MP até C coincidir com A

(a) Explique porque o ângulo B\widehat{M}P na figura 4 é reto.

(b) Mostre que o triângulo BMP da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2.

(c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4.

(d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Uma folha de papel retangular ABCD de 12\text{ cm} por 16\text{ cm} (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2). O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD. Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4).

Figura 1: retângulo ABCD com dimensões 12 cm de altura e 16 cm de largura, com suas diagonais se interceptando em M e uma tesoura cortando a diagonal AC Figuras 2, 3 e 4: etapas das dobras, mostrando o triângulo retângulo ABC, a dobra em BM e a dobra em MP até C coincidir com A

(a) Explique porque o ângulo B\widehat{M}P na figura 4 é reto.

(b) Mostre que o triângulo BMP da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2.

(c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4.

(d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para facilitar a exposição, vamos denotar por A' a posição do ponto A após a segunda dobra.

[Figura: sequência de quatro etapas ilustrando as dobras de um retângulo ABCD com centro M. Figura 1: retângulo ABCD com diagonais cruzando-se no centro M. Figura 2: após a primeira dobra pelo segmento AC. Figura 3: o vértice A é dobrado ao longo do segmento MP até uma posição A'. Figura 4: o segmento A'M coincide com o segmento MC, ou seja, A' = C.]

a) A figura 4 mostra que A'\widehat{M}P = C\widehat{M}P (ou seja, P foi escolhido de modo que MP é a bissetriz de A\widehat{M}C), e segue que A'\widehat{M}C = 2\cdot A'\widehat{M}P (conforme figura 3). Por outro lado, temos A\widehat{M}B = A'\widehat{M}B, donde A\widehat{M}A' = 2\cdot A'\widehat{M}B. Logo

180^\circ = A\widehat{M}A' + A'\widehat{M}C = 2\cdot A'\widehat{M}B + 2\cdot A'\widehat{M}P = 2(A'\widehat{M}B + A'\widehat{M}P) = 2\cdot B\widehat{M}P

e segue que B\widehat{M}P = 90^\circ.

b) (figura 1) Lembramos que as diagonais de um retângulo são iguais e se interceptam em seu ponto médio; no nosso caso, temos BM = AM = CM. Segue que o triângulo BMC é isósceles e concluímos que M\widehat{B}C = M\widehat{C}B = A\widehat{C}B. Logo os triângulos retângulos ABC e PMB têm um ângulo (agudo) em comum, ou seja, eles são semelhantes.

Aqui fazemos um reparo ao enunciado deste item na prova. Em geral, ao falar da semelhança de triângulos, deve-se listar os vértices na ordem que indica a correspondência correta. No nosso caso, o enunciado deveria ser “mostre que os triângulos PMB e ABC são semelhantes”, de vez que os ângulos em M e B do triângulo PMB são iguais aos ângulos em B e C do triângulo ABC, respectivamente. O Comitê de Provas pede desculpas por esta incorreção.

c) Como os triângulos PMB e ABC são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes. Como vimos acima, temos BM = AM = CM, ou seja, BM = \frac{1}{2} AC. Por outro lado, o teorema de Pitágoras no triângulo ABC (figura 1) nos dá AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20; logo BM = 10, e segue que a razão de semelhança dos triângulos BMP e ABC é \frac{BM}{BC} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}. Denotando a área do triângulo BMP por (BMP) (e similarmente para outras figuras a seguir) temos (BMP) = \left(\frac{5}{8}\right)^2 (ABC) = \frac{25}{64} \times \frac{12 \times 16}{2} = \frac{75}{2}

d) Desdobrando a figura 4, segue que (A'BMP) + (BMP) = (ABC). Logo

(A'BMP) = (ABC) - (BMP) = 96 - \frac{75}{2} = \frac{117}{2}.

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Resolução comentada

a) No triângulo ABC, M é o ponto médio da hipotenusa AC, e os ângulos B\widehat{M}A e B\widehat{M}C são suplementares. Chame B\widehat{M}A=\alpha e A' a posição de A depois da dobra BM. Como a dobra preserva ângulos, B\widehat{M}A'=\alpha.

Na segunda dobra, C vai sobre A'. Logo MP é bissetriz do ângulo A'\widehat{M}C, e A'\widehat{M}P=P\widehat{M}C=\theta.

O ângulo B\widehat{M}C é formado por B\widehat{M}A' e A'\widehat{M}C:

180^\circ-\alpha=\alpha+2\theta \Rightarrow \theta=90^\circ-\alpha.

Assim, B\widehat{M}P=\alpha+\theta=90^\circ.

O ângulo B\widehat{M}P é reto.

b) Pelo item (a), o triângulo BMP tem ângulo reto em M.

Como M é o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo, MB=MA=MC. Então BMC é isósceles e M\widehat{B}C=B\widehat{C}A.

O ponto P está sobre BC, logo M\widehat{B}P=M\widehat{B}C=B\widehat{C}A.

Os triângulos BMP e CBA têm então um ângulo reto (M e B) e um outro ângulo igual (B e C). Pelo caso AA, são semelhantes, com M\leftrightarrow B, B\leftrightarrow C e P\leftrightarrow A.

BMP \sim ABC (caso AA).

c) No retângulo, AB=12 e BC=16, então AC=\sqrt{12^2+16^2}=20 e BM=10.

Na semelhança, BM corresponde a CB, e a razão é \dfrac{10}{16}=\dfrac58.

O cateto MP corresponde a BA:

MP=12\cdot\frac58=7{,}5\ \text{cm}.

Área de BMP:

\frac{10\cdot 7{,}5}{2}=37{,}5\ \text{cm}^2.

Área =37{,}5\ \text{cm}^2.

d) Na figura 4, a diagonal AM divide ABMP em dois triângulos: ABM e AMP.

A área de ABC é \frac{12\cdot16}{2}=96. Como M é ponto médio da hipotenusa, ABM e BMC têm área 48 cada. A dobra não altera a área de ABM.
O triângulo AMP é o triângulo PMC rebatido, então tem a mesma área. Ela vale \text{área}(BMC)-\text{área}(BMP)=48-37{,}5=10{,}5.
Soma: 48+10{,}5=58{,}5.

Área de ABMP=58{,}5\ \text{cm}^2.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2009

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