Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de vôlei em que:

cada time joga contra cada um dos outros uma única vez;
qualquer partida termina com a vitória de um dos times;
em qualquer partida os times têm a mesma probabilidade de ganhar;
ao final do torneio, os times são classificados em ordem pelo número de vitórias.

Ilustração de quatro jovens jogando vôlei: dois à esquerda da rede, com uma menina cortando a bola, e dois à direita, com um menino bloqueando junto à rede.

(a) É possível que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo número de vitórias? Por quê?

(b) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba isolado em primeiro lugar?

(c) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com três times empatados em primeiro lugar?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de vôlei em que:

cada time joga contra cada um dos outros uma única vez;
qualquer partida termina com a vitória de um dos times;
em qualquer partida os times têm a mesma probabilidade de ganhar;
ao final do torneio, os times são classificados em ordem pelo número de vitórias.

Ilustração de quatro jovens jogando vôlei: dois à esquerda da rede, com uma menina cortando a bola, e dois à direita, com um menino bloqueando junto à rede.

(a) É possível que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo número de vitórias? Por quê?

(b) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba isolado em primeiro lugar?

(c) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com três times empatados em primeiro lugar?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) O número total de partidas disputadas no torneio é 3 + 2 + 1 = 6. Como 6 não é divisível por 4, o torneio não pode acabar com os quatro times tendo o mesmo número de vitórias.

b) 1ª solução: Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve ganhar todas as suas partidas. De fato, se ele ganhar duas ou menos então os outros três times dividirão pelo menos quatro vitórias entre si, e assim algum deles deve ter pelo menos duas vitórias; nesse caso, o Quixajuba não seria o campeão isolado. Para cada um dos três jogos entre os outros times há duas possibilidades. Logo, o número de maneiras do Quixajuba terminar sozinho em primeiro lugar é 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2 = 8. Como há 2^6 = 64 resultados possíveis para as seis partidas, a probabilidade de o Quixajuba ser o campeão isolado é \frac{8}{64} = \frac{1}{8}.

2ª solução: Argumentamos como acima que o Quixajuba será o campeão isolado se e somente se ele vencer suas três partidas. Como a probabilidade de o Quixajuba ganhar um jogo contra qualquer dos outros times é \frac{1}{2}, a probabilidade de ele ganhar suas três partidas é \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}.

c) Suponhamos que os times sejam A, B, C e D e que o torneio termine com D isolado em último lugar. Então D perdeu todas suas partidas; de fato,

se D tivesse ganho suas três partidas, teria terminado o torneio em primeiro lugar (como vimos no item anterior);
se oD tivesse ganho duas (ou uma) partidas, os outros times dividiriam quatro (ou cinco) vitórias entre si; neste caso, pelo menos um deles teria ganho no máximo uma partida e assim D não teria ficado em último lugar isolado.

Logo A, B e C dividem entre si as seis vitórias, ou seja, cada um deles ganhou duas vezes; uma contra D e uma contra um dos outros. Para as partidas entre A, B e C temos apenas duas possibilidades: A ganhou de B que ganhou de C ou A ganhou de C que ganhou de B. Em resumo, há apenas duas possibilidades para que A, B e C dividam a liderança, e neste caso D acaba o torneio em último lugar isolado.

Como qualquer um dos times pode acabar em último lugar isolado, enquanto os outros dividem a liderança, segue que o número de possibilidades para que isto aconteça é 4 \times 2 = 8. Por outro lado, o número total de possibilidades para os resultados das seis partidas é 2^6 = 64. Logo a probabilidade de que três times dividam a liderança é \frac{8}{64} = \frac{1}{8}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada partida dá exatamente uma vitória, e há \binom{4}{2}=6 partidas. Logo, o total de vitórias de todos os times é 6.

Se os 4 times tivessem o mesmo número de vitórias, cada um teria 6\div 4=1{,}5 vitórias, o que não é um número inteiro. Portanto, não é possível que todos terminem com o mesmo número de vitórias.

b) São 6 partidas com 2 resultados possíveis cada, ou seja, 2^6=64 resultados igualmente prováveis. Vamos ver quantas vitórias o Quixajuba (Q) precisa ter para ficar isolado em primeiro.

Q com 0 ou 1 vitória: os outros três somam pelo menos 5 vitórias, e algum deles terá pelo menos 2. Q não fica em primeiro.
Q com 2 vitórias: Q perde para um time A. Para A não alcançar 2 vitórias, ele deve perder para os outros dois, B e C. Entre B e C, quem vencer terá 2 vitórias (uma sobre A e outra sobre o rival), empatando com Q. Então isso é impossível.
Q com 3 vitórias: os outros times têm no máximo 2 vitórias, pois todos perderam para Q. Q fica isolado em primeiro, e as 3 partidas entre os outros times podem ter qualquer resultado: 2^3=8 casos.

A probabilidade é \dfrac{8}{64}=\dfrac{1}{8}.

Resposta: \dfrac18.

c) Sejam k as vitórias de cada um dos três times empatados em primeiro e m as do quarto time, com m<k. Então 3k+m=6.

k=2 dá m=0.
k=1 dá m=3, o que contradiz m<k.

Só resta a distribuição 2,2,2,0. O time com 0 vitória perde para os outros três. Os três restantes jogam entre si e cada um deve vencer exatamente uma dessas partidas, formando um ciclo (A vence B, B vence C, C vence A), o que pode ocorrer de 2 modos.

Há 4 escolhas para o time que perde tudo. Então são 4\cdot 2=8 resultados favoráveis, e a probabilidade é \dfrac{8}{64}=\dfrac18.

Resposta: \dfrac18.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗