Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Resolução comentada

a) Na figura 1 as três bolinhas estão ligadas duas a duas, então as três cores devem ser todas diferentes.

A primeira bolinha tem 3 opções, a segunda tem 2 (não pode repetir a primeira) e a terceira tem 1 (só sobra uma cor).

6 maneiras.

b) Na figura 2, chame as bolinhas, em volta do quadrado, de 1, 2, 3 e 4. Cada uma está ligada às duas vizinhas, e 1 e 3 não estão ligadas entre si, o mesmo valendo para 2 e 4.

Separe em dois casos, conforme as bolinhas 1 e 3:

1. 1 e 3 com a mesma cor: são 3 escolhas para essa cor. Cada uma das bolinhas 2 e 4 só precisa ser diferente dessa cor, então tem 2 opções. Total: 3\cdot 2\cdot 2=12.
2. 1 e 3 com cores diferentes: são 3\cdot 2=6 escolhas. As bolinhas 2 e 4 precisam ser diferentes das duas cores usadas, então sobra uma única cor para cada uma. Total: 6\cdot 1\cdot 1=6.

Somando: 12+6=18.

18 maneiras.

c) A figura 3 tem dois quadrados que dividem o segmento do meio, mais uma bolinha extra ligada à bolinha central da esquerda.

Chame de c e d as bolinhas desse segmento comum. Elas precisam ter cores diferentes: 3\cdot 2=6 maneiras. Seja Z a terceira cor, a que não foi usada em c nem em d.

No quadrado de cima, a bolinha ligada a c pode ter a cor de d ou Z. A bolinha ligada a d pode ter a cor de c ou Z. As duas também precisam ser diferentes entre si. Dos 2\cdot 2=4 pares, só não vale aquele em que as duas são Z. Sobram 3 maneiras.

O quadrado de baixo é igual, e também dá 3 maneiras.

A bolinha extra só precisa ser diferente de c, então tem 2 opções.

108 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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