Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100\text{ cm}^2 de superfície.

mL é abreviação de mililitro.

Dois cubos sobrepostos: um cubo menor centralizado sobre a face superior de um cubo maior

(a) O sólido da figura foi feito colando uma face de um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para pintar esse sólido?

Um cubo com linha tracejada vertical que se divide, conforme indicado por uma seta, em dois blocos retangulares iguais

(b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses dois blocos?

(c) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar outro cubo. Depois de pintado, esse cubo foi dividido em cubinhos iguais, e Pedro gastou mais 216 mL de tinta para pintar todas as faces dos cubinhos que não estavam pintadas. Em quantos cubinhos ele dividiu o cubo?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 1 · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100\text{ cm}^2 de superfície.

mL é abreviação de mililitro.

Dois cubos sobrepostos: um cubo menor centralizado sobre a face superior de um cubo maior

(a) O sólido da figura foi feito colando uma face de um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para pintar esse sólido?

Um cubo com linha tracejada vertical que se divide, conforme indicado por uma seta, em dois blocos retangulares iguais

(b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses dois blocos?

(c) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar outro cubo. Depois de pintado, esse cubo foi dividido em cubinhos iguais, e Pedro gastou mais 216 mL de tinta para pintar todas as faces dos cubinhos que não estavam pintadas. Em quantos cubinhos ele dividiu o cubo?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) 1ª solução: A superfície do sólido é igual à soma das superfícies dos cubos menos a área “perdida” no contato entre eles, que é igual a duas vezes a área de uma face do cubo menor. Assim, a área do sólido obtido é 6 \times 20 \times 20 + 6 \times 10 \times 10 - 2 \times 10 \times 10 = 2400 + 600 - 200 = 2800\text{cm}^2. Como Pedro gasta 1\text{mL} de tinta para pintar 100\text{ cm}^2, então ele vai gastar \dfrac{2800}{100} = 28\text{mL} de tinta para pintar a superfície do sólido.

2ª solução: Cada face do cubo maior tem 20 \times 20 = 400\text{cm}^2. Assim, Pedro gastará \dfrac{400}{100} = 4\text{mL} de tinta para pintar cada face do cubo maior; analogamente, ele gastará 1\text{mL} de tinta para pintar cada face do cubo menor. Logo ele gastará 6 \times 4 + 6 \times 1 - 2 \times 1 = 28\text{mL} de tinta para pintar todo o sólido.

b) Para pintar uma das faces do cubo, Pedro gastou \dfrac{54}{6} = 9\text{mL} de tinta. O corte criou duas novas superfícies, cada uma com área igual à de uma das faces do cubo; para pintar estas duas superfícies Pedro deve gastar 2 \times 9 = 18\text{mL} de tinta.

c) 1ª solução: Para dividir o cubo em cubinhos iguais, devem ser feitos cortes paralelos às faces e igualmente espaçados. Como vimos no item (b), cada um destes cortes cria 1800\text{ cm}^2 de superfície não pintada. Portanto, o número de cortes foi \dfrac{21600}{1800} = 12. Como os cubinhos são iguais, os cortes horizontais, verticais e longitudinais devem ser todos de mesmo número, ou seja, em número de \dfrac{12}{3} = 4. Esses cortes dão origem a 5 camadas horizontais, verticais e longitudinais de cubinhos, e segue que o cubo original foi dividido em 5 \times 5 \times 5 = 125 cubinhos.

2ª solução (com álgebra, que pode estar fora do alcance de alunos do n1): Como acima, concluímos que a aresta do cubo mede 30\text{cm}, logo cada face tem 9 \times 100 = 900\text{cm}^2. Pedro gastou 54 + 216 = 270\text{mL} de tinta no total, logo ele pintou 27.000\text{cm}^2. É intuitivo que o número de camadas horizontais, verticais e longitudinais é o mesmo, que chamamos de n. A quantidade de cubinhos é então n^3 a aresta de um cubinho mede \dfrac{30}{n}\text{cm}. Logo a área de uma face de um cubinho é \dfrac{30}{n} \times \dfrac{30}{n} = \dfrac{900}{n^2}\text{cm}^2, e temos

27000 = \underbrace{6 \times \frac{900}{n^2}}_{\substack{\text{área total das faces} \\ \text{de um cubinho}}} \times n^3 = 5400 \times n.

Segue que n = 5 e então o número de cubinhos é 5^3 = 125.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Quando se cola um cubo sobre o outro, a face de baixo do cubo menor cobre uma parte da face de cima do cubo maior. A face de cima do cubo menor, porém, tem a mesma área da parte coberta, então ela repõe exatamente a área perdida.

Por isso a área a pintar é a do cubo grande mais as 4 faces laterais do cubo pequeno:

6\cdot 20^2 + 4\cdot 10^2 = 2400 + 400 = 2800\ \text{cm}^2

Como 1 mL pinta 100\ \text{cm}^2:

\frac{2800}{100} = 28\ \text{mL}

28 mL

b) Os 54 mL pintaram 54\cdot 100 = 5400\ \text{cm}^2, que são as 6 faces do cubo. Cada face tem então 5400 \div 6 = 900\ \text{cm}^2, e a aresta mede 30 cm.

O corte divide o cubo em dois blocos iguais e cria duas faces novas, uma em cada bloco. Cada face nova é um quadrado de lado 30 cm, com 900\ \text{cm}^2.

A área ainda sem tinta é 2\cdot 900 = 1800\ \text{cm}^2, o que dá:

\frac{1800}{100} = 18\ \text{mL}

18 mL a mais

c) Como no item (b), o cubo tem aresta 30 cm e cada face tem 900\ \text{cm}^2.

Suponha que a aresta seja dividida em n partes iguais. O cubo vira n^3 cubinhos de aresta \frac{30}{n} cm. A área total de todos os cubinhos é:

n^3\cdot 6\cdot\left(\frac{30}{n}\right)^2 = 6\cdot 900\cdot n = 5400n\ \text{cm}^2

Isso corresponde a 54n mL de tinta. Desses, 54 mL já estavam gastos, então a tinta adicional é 54n - 54.

54n - 54 = 216 \Rightarrow 54n = 270 \Rightarrow n = 5

O número de cubinhos é n^3 = 5^3 = 125. Cada cubinho tem aresta de 6 cm.

125 cubinhos

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Unidades de medida e conversões.

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Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 1. Prova oficial ↗