Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Ana quer colorir as bolinhas das figuras 1, 2 e 3 de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Ilustração de Ana segurando três lápis de cor e observando desenhos de figuras com círculos coloridos

Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a figura 1 e duas maneiras diferentes de colorir a figura 2:

Maneira 1 de colorir a figura 1: bolinha superior com V, inferior esquerda com P e inferior direita com A Maneira 2 de colorir a figura 1: bolinha superior com A, inferior esquerda com V e inferior direita com P

(a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 1?

(b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 2?

(c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 3?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Ana quer colorir as bolinhas das figuras 1, 2 e 3 de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Ilustração de Ana segurando três lápis de cor e observando desenhos de figuras com círculos coloridos

Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a figura 1 e duas maneiras diferentes de colorir a figura 2:

Maneira 1 de colorir a figura 1: bolinha superior com V, inferior esquerda com P e inferior direita com A Maneira 2 de colorir a figura 1: bolinha superior com A, inferior esquerda com V e inferior direita com P

(a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 1?

(b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 2?

(c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 3?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Ana pode pintar a bolinha 1 com qualquer uma das três cores. A bolinha 2 deve então ser pintada de uma cor diferente da primeira, restando a Ana duas cores para pintá-la. A bolinha 3 deve ser pintada com a cor que sobrar. Portanto, a figura 1 pode ser pintada de 3 \times 2 \times 1 = 6 maneiras diferentes. [Figura: Três círculos numerados 1, 2 e 3 nos vértices de um triângulo, conectados por segmentos.]

b) [Figura: Quatro círculos numerados 1, 2, 3 e 4 dispostos nos vértices de um quadrado, conectados por segmentos em ciclo.] Vamos dividir as maneiras de pintar a figura 2 em dois casos.

1^o caso: as bolinhas 1 e 3 são pintadas da mesma cor. Essa cor pode ser escolhida de três maneiras diferentes; após esta escolha, a cor da bolinha 2 pode ser escolhida de duas maneiras diferentes, bem como a da bolinha 4. O número de maneiras de pintar a figura 2 nesse caso é 3 \times 2 \times 2 = 12.

2^o caso: as bolinhas 1 e 3 são pintadas de cores diferentes. Nesse caso, a cor da bolinha 1 pode ser escolhida de três maneiras diferentes e após isso, restam duas possibilidades para a cor da bolinha 3. Para as bolinhas 2 e 4 há apenas uma possibilidade, que é a cor que não foi usada nas bolinhas 1 e 3. Logo o número de maneiras de pintar a figura 2 nesse caso é 3 \times 2 \times 1 = 6.

No total, a figura 2 pode ser pintada de 12 + 6 = 18 maneiras diferentes.

c) As bolinhas de 1 a 4 formam a figura do item anterior e portanto, para pintá-las, Ana tem 18 possibilidades. Para pintar a bolinha 5, ele tem duas cores disponíveis, pois a bolinha 4 já está pintada. Logo temos 18 \times 2 = 36 possibilidades para pintar as bolinhas de 1 a 5. Dividimos agora nossa contagem em dois casos:

1^o caso: as bolinhas 3 e 6 são pintadas da mesma cor. Nesse caso, temos uma escolha para a cor da bolinha 6 (pois a bolinha 3 já foi pintada) e duas para a bolinha 7, ou seja, temos 1 \times 2 = 2 possibilidades.

2^o caso: as bolinhas 3 e 6 são pintadas de cores diferentes. Nesse caso também temos uma única escolha para a cor da bolinha 6 (diferente das cores das bolinhas 3 e 4) e sobra apenas uma cor para a bolinha 7. Aqui temos apenas uma possibilidade.

No total, há 36 \times 2 + 36 \times 1 = 108 maneiras diferentes de pintar a figura 3. [Figura: Grafo com sete círculos numerados de 1 a 7: 1, 2, 3 e 4 dispostos em quadrado; 5 ligado à esquerda de 4; e abaixo de 4 e 3 encontram-se 6 e 7 formando outro quadrado com 4 e 3.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Na figura 1 as três bolinhas estão ligadas duas a duas, então as três cores têm de ser diferentes. Ana usa as três cores, uma em cada bolinha.

Para a bolinha de cima há 3 escolhas, para a inferior esquerda sobram 2 e para a inferior direita sobra 1:

3\cdot 2\cdot 1 = 6.

Resposta: 6 maneiras.

b) Na figura 2 cada bolinha se liga às duas vizinhas, e as bolinhas opostas (diagonais) não se ligam. Separe em dois casos, de acordo com as duas bolinhas de uma diagonal:

Diagonal com a mesma cor: há 3 escolhas para essa cor. Cada uma das outras duas bolinhas só não pode ter essa cor, então tem 2 escolhas: 3\cdot 2\cdot 2 = 12.
Diagonal com cores diferentes: há 3\cdot 2 = 6 escolhas. Cada uma das outras duas bolinhas é vizinha das duas já coloridas, então só pode ter a terceira cor, e há 1 escolha para cada: 6\cdot 1\cdot 1 = 6.

Total: 12+6=18.

Resposta: 18 maneiras.

c) A figura 3 tem dois quadrados que dividem o segmento do meio, mais uma bolinha solta na esquerda ligada à bolinha central.

Colora primeiro as duas bolinhas do segmento do meio, que estão ligadas: são 3\cdot 2=6 maneiras. Chame suas cores de a (esquerda) e b (direita), e de c a terceira cor.

Quadrado de cima: a bolinha de cima à esquerda não pode ser a, então é b ou c. A de cima à direita não pode ser b, então é a ou c. As duas também precisam ser diferentes. Os pares possíveis são (b,a), (b,c) e (c,a). O par (c,c) não vale. Há 3 maneiras.
Quadrado de baixo: pelo mesmo raciocínio, há 3 maneiras.
Bolinha da esquerda: ela só não pode ter a cor a da bolinha central à qual se liga, então tem 2 maneiras.

Os trechos são independentes, então multiplicamos:

6\cdot 3\cdot 3\cdot 2 = 108.

Resposta: 108 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2009 · Questão 5 (Nível 1)(c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 3?

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 2. Prova oficial ↗