Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2009

Resolução comentada

a) Para o número de três algarismos ser o maior possível, o primeiro algarismo deve ser o maior possível. Ele precisa deixar pelo menos 2 algarismos depois dele, então só podemos escolher entre os 3 primeiros de 47239, que são 4, 7 e 2. O maior é 7.

Depois do 7 sobram 2, 3, 9. O segundo algarismo deve deixar ao menos 1 algarismo depois, então escolhemos entre 2 e 3. O maior é 3. Sobra apenas o 9.

O número é 739, e ele é de fato escondido: apagamos 4 e 2.

739

b) O número procurado é uma sequência que contém 2009 e 9002 como subsequências. Para ser o menor possível, ele deve ter o menor número de algarismos. Para isso, aproveitamos o máximo de algarismos comuns às duas sequências, mantendo a ordem.

As subsequências comuns a 2009 e 9002 são 2, 9, 0 e 00. Não há comum de 3 algarismos. Em 2009 o 2 vem antes do 9, e em 9002 é o contrário, então 29, 92, 20, 90, 09 e 02 não servem como subsequências comuns de 2 algarismos. Assim, o máximo aproveitado é o par 00, e o número terá 4+4-2=6 algarismos.

Os 00 ficam no meio. Antes deles precisamos de um 2 e um 9 em alguma ordem, e depois também. Os candidatos são 290029, 290092, 920029, 920092. O menor é 290029.

Conferindo: 2, 0, 0, 9 aparecem nas posições 1, 3, 4, 6, e 9, 0, 0, 2 aparecem nas posições 2, 3, 4, 5.

290029

c) Um múltiplo de 2009 é 2009\cdot k. Ele termina em 3 quando 9k termina em 3. Isso acontece para k=7, pois 9\cdot 7=63.

Usamos k=100007, que também termina em 7. Assim:

Esse número começa com 2009, então esconde 2009, e termina em 3. É múltiplo de 2009 por construção.

200914063 (outras respostas, como 2009\cdot 10^n+14063 com n\ge 5, também servem)

Assuntos: Sistemas de numeração, Divisibilidade, MMC e MDC.

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