PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2009
Um polígono convexo é elegante quando ele pode ser decomposto em triângulos equiláteros, quadrados ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. Ao lado, mostramos alguns polígonos elegantes, indicando para cada um deles uma decomposição e o número de lados.
(a) Desenhe um polígono elegante de 8 lados, indicando uma decomposição.
Em um polígono convexo todos os ângulos internos são menores que 180^\circ.
(b) Quais são as possíveis medidas dos ângulos internos de um polígono elegante?
A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n - 2) \times 180^\circ.
c) Mostre que um polígono elegante não pode ter mais que 12 lados.
(d) Desenhe um polígono elegante de 12 lados, indicando uma decomposição.
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Resolução comentada
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a) Pelo item (b), os ângulos internos podem ser 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ ou 150^\circ. Uma construção que funciona: um retângulo 2\times1 formado por dois quadrados de lado 1, com um trapézio de três triângulos equiláteros de lado 1 colado em cada lado de comprimento 2.
Cada trapézio tem base maior 2, base menor 1 e lados inclinados 1. Ele é formado por dois triângulos com a ponta para cima e um com a ponta para baixo no meio.
Os ângulos ficam assim:
- nos 4 vértices do retângulo: 90^\circ+60^\circ=150^\circ;
- nos 4 vértices das bases menores dos trapézios: 120^\circ.
Todos são menores que 180^\circ, então o polígono é convexo. Os lados são: 2 verticais (as laterais do retângulo), 4 inclinados e 2 horizontais (as bases menores dos trapézios), num total de 8.
Conferindo a soma: 4\cdot150^\circ+4\cdot120^\circ=1080^\circ=(8-2)\cdot180^\circ.
Decomposição: 2 quadrados e 6 triângulos equiláteros, todos de lado 1; o polígono tem 8 lados.
b) Em cada vértice do polígono, o ângulo interno é a soma de ângulos das peças que se encontram ali. Cada peça contribui com 60^\circ (triângulo) ou 90^\circ (quadrado). Como o polígono é convexo, a soma deve ser menor que 180^\circ.
Testando as combinações:
- 60^\circ;
- 90^\circ;
- 60^\circ+60^\circ=120^\circ;
- 60^\circ+90^\circ=150^\circ.
As demais combinações dão 180^\circ ou mais: 60+60+60=180, 90+90=180, 60+60+90=210 etc.
Os ângulos internos possíveis são 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ e 150^\circ.
c) Se o polígono tem n lados, a soma dos ângulos internos é (n-2)\cdot180^\circ. Pelo item (b), cada ângulo interno é no máximo 150^\circ. Logo:
Outra forma de ver: os ângulos externos (180^\circ menos o interno) valem pelo menos 30^\circ e somam 360^\circ, então 30n\le360.
Portanto, um polígono elegante tem no máximo 12 lados.
d) Para ter 12 lados, a igualdade do item (c) deve valer. Então todos os ângulos internos medem 150^\circ, ou seja, cada vértice combina 90^\circ de um quadrado com 60^\circ de um triângulo.
Construção: desenhe um hexágono regular de lado 1, dividido em 6 triângulos equiláteros a partir do centro. Sobre cada um dos 6 lados do hexágono, construa um quadrado de lado 1, para fora. Em cada "vão" entre dois quadrados vizinhos, encaixe um triângulo equilátero.
Conferindo os ângulos:
- em cada vértice do hexágono: 120^\circ+90^\circ+60^\circ+90^\circ=360^\circ, então o vão fica totalmente preenchido;
- em cada vértice externo: 90^\circ (quadrado) +\,60^\circ (triângulo) =150^\circ.
O contorno tem 6 lados dos quadrados e 6 lados dos triângulos, ou seja, 12 lados iguais com ângulos de 150^\circ (um dodecágono regular).
Decomposição: 6 triângulos (centro) + 6 quadrados + 6 triângulos (vãos), todos de lado 1; o polígono tem 12 lados.
Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 2. Prova oficial ↗