Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em dois triângulos, como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a), (b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a região em que um triângulo fica sobre o outro. Em cada item, calcule a área da região cinza.

Quadrado de lado 3 cm com linha tracejada ao longo da diagonal sendo cortada por uma tesoura, resultando em dois triângulos retângulos isósceles separados.

a) Dois triângulos retângulos sobrepostos com suas bases totalmente coincidentes medindo 3 cm, formando uma região sombreada em cinza de formato triangular.

b) Dois triângulos retângulos sobrepostos parcialmente com bases alinhadas, cuja intersecção na base mede 1 cm, formando uma região cinza triangular.

c) Dois triângulos retângulos sobrepostos com comprimento total da base igual a 5 cm, destacando em cinza uma região de intersecção em forma de pentágono.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em dois triângulos, como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a), (b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a região em que um triângulo fica sobre o outro. Em cada item, calcule a área da região cinza.

Quadrado de lado 3 cm com linha tracejada ao longo da diagonal sendo cortada por uma tesoura, resultando em dois triângulos retângulos isósceles separados.

a) Dois triângulos retângulos sobrepostos com suas bases totalmente coincidentes medindo 3 cm, formando uma região sombreada em cinza de formato triangular.

b) Dois triângulos retângulos sobrepostos parcialmente com bases alinhadas, cuja intersecção na base mede 1 cm, formando uma região cinza triangular.

c) Dois triângulos retângulos sobrepostos com comprimento total da base igual a 5 cm, destacando em cinza uma região de intersecção em forma de pentágono.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O argumento geral para a resolução desta questão está ilustrado ao lado. O triângulo ABC é um dos triângulos resultantes do corte do quadrado e D é um ponto qualquer no lado AB, com DE perpendicular a AB. O triângulo ADE também é retângulo com dois lados iguais, e sua área é igual a metade da área do quadrado ADEF; a área do triângulo ADG é então igual a \frac{1}{4} da área do quadrado ADEF.

[Figura: Diagrama com o triângulo retângulo e o quadrado ADEF com vértices A, D, E, F e diagonais se cruzando em G, mostrando ângulos de 45°]

a) [Figura: Quadrado de lado 3 cm dividido em quatro partes pelas diagonais, com o triângulo inferior sombreado em cinza]

O argumento acima mostra que a região cinza (à esquerda) tem área igual a \frac{1}{4} da área do quadrado de lado 3\text{ cm}, ou seja, \frac{1}{4} \times 3^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25\text{ cm}^2.

Podemos também usar a fórmula da área de um triângulo. A altura relativa ao lado de 3\text{ cm} mede a metade do lado do quadrado, ou seja, \frac{3}{2}\text{ cm}. A área da região cinza é então

\text{área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} = \frac{3 \times \frac{3}{2}}{2} = \frac{9}{4}\text{ cm}^2.

b) [Figura: Sobreposição de dois triângulos com base AD de 5 cm, dividida em segmentos de medidas 2, 1 e 2 pelos pontos C e B, destacando uma região central cinza]

Aqui a área da região cinza (à direita) é \frac{1}{4} \times 1^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25\text{ cm}^2. Alternativamente, podemos usar a fórmula para a área de um triângulo para obter

\text{área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} = \frac{1 \times \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}\text{ cm}^2.

c) 1ª solução: Como AB = CD = 3\text{ cm} e AD = 5\text{ cm}, vemos que BC = 1\text{ cm}, e podemos então marcar os comprimentos indicados na figura. A região cinza é a união de um retângulo de base 1\text{ cm} e altura 2\text{ cm} com um triângulo cuja área já foi calculada no item anterior. Logo a área da região cinza é 1 \times 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25\text{ cm}^2.

2ª solução: A região cinza é um retângulo de base 1 e altura 3 da qual se retiram três triângulos, cada um com área igual a \frac{1}{4} da área de um quadrado de lado 1. A área procurada é então 3 \times 1 - 3 \times \frac{1}{4} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a) Cada triângulo é retângulo isósceles de catetos 3\ \text{cm}. Na figura, os dois têm um cateto de 3\ \text{cm} sobre a mesma base, então a região cinza é um triângulo de base 3\ \text{cm}.

As hipotenusas formam ângulos de 45^\circ com a base. Logo o triângulo cinza é retângulo isósceles, com a base como hipotenusa. A altura relativa a essa hipotenusa é metade dela: \frac{3}{2}=1{,}5\ \text{cm}.

A=\frac{3\cdot 1{,}5}{2}=2{,}25\ \text{cm}^2

Resposta: 2{,}25\ \text{cm}^2.

b) Aqui a sobreposição na base mede 1\ \text{cm}. O raciocínio é o mesmo do item (a): as hipotenusas continuam a 45^\circ, então a região cinza é um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa 1\ \text{cm} sobre a base.

Sua altura é \frac{1}{2}=0{,}5\ \text{cm}.

A=\frac{1\cdot 0{,}5}{2}=0{,}25\ \text{cm}^2

Resposta: 0{,}25\ \text{cm}^2.

c) O comprimento total é 5\ \text{cm} e cada base mede 3\ \text{cm}. Então a sobreposição na base mede 3+3-5=1\ \text{cm}. Os catetos verticais de 3\ \text{cm} limitam a região cinza dos lados, e as hipotenusas a limitam por cima.

Coloque a origem na ponta esquerda da base. Um triângulo ocupa de x=0 a x=3, com hipotenusa y=x. O outro ocupa de x=2 a x=5, com hipotenusa y=5-x. A região cinza fica entre x=2 e x=3.

As hipotenusas se cruzam em x=2{,}5, a altura 2{,}5\ \text{cm}. Em x=2 e em x=3 elas têm altura 2\ \text{cm}. Então:

Retângulo de base 1 e altura 2: 1\cdot 2=2\ \text{cm}^2.
Triângulo em cima, de base 1 e altura 2{,}5-2=0{,}5: \frac{1\cdot 0{,}5}{2}=0{,}25\ \text{cm}^2.

A=2+0{,}25=2{,}25\ \text{cm}^2

Resposta: 2{,}25\ \text{cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 1. Prova oficial ↗