Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Ana e Cristina estão jogando contra Beatriz e Diana. No início de cada partida, elas embaralham nove cartões numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartões, sobrando sempre um cartão na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os números de seus cartões e o número de pontos da dupla é a soma dos pontos das duas parceiras. Vence a dupla que fizer o maior número de pontos. Veja um exemplo de uma partida na tabela:

Quatro meninas sentadas em círculo no chão jogando com cartões numerados

	Ana	Cristina	Beatriz	Diana
Cartões retirados	1 e 4	5 e 7	2 e 9	3 e 6
Pontos de cada menina	1 + 4 = 5	5 + 7 = 12	2 + 9 = 11	3 + 6 = 9
Pontos da dupla	5 + 12 = 17		11 + 9 = 20
Resultado	Beatriz e Diana ganham, pois 20 é maior que 17

(a) Numa partida, Ana e Cristina tiraram somente cartões com números ímpares, e sobrou o cartão de número 7. Qual foi o resultado da partida? Por quê?

(b) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 8? Por quê?

(c) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 5? Por quê?

(d) Em outra partida, uma das meninas tirou o cartão de número 3. Ana fez um ponto a menos que Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 1 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Ana e Cristina estão jogando contra Beatriz e Diana. No início de cada partida, elas embaralham nove cartões numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartões, sobrando sempre um cartão na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os números de seus cartões e o número de pontos da dupla é a soma dos pontos das duas parceiras. Vence a dupla que fizer o maior número de pontos. Veja um exemplo de uma partida na tabela:

Quatro meninas sentadas em círculo no chão jogando com cartões numerados

	Ana	Cristina	Beatriz	Diana
Cartões retirados	1 e 4	5 e 7	2 e 9	3 e 6
Pontos de cada menina	1 + 4 = 5	5 + 7 = 12	2 + 9 = 11	3 + 6 = 9
Pontos da dupla	5 + 12 = 17		11 + 9 = 20
Resultado	Beatriz e Diana ganham, pois 20 é maior que 17

(a) Numa partida, Ana e Cristina tiraram somente cartões com números ímpares, e sobrou o cartão de número 7. Qual foi o resultado da partida? Por quê?

(b) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 8? Por quê?

(c) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 5? Por quê?

(d) Em outra partida, uma das meninas tirou o cartão de número 3. Ana fez um ponto a menos que Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como sobrou o cartão de número 7 e Ana e Cristina só tiraram cartões ímpares, seus cartões foram 1, 3, 5 e 9; logo, a soma de seus pontos foi 1 + 3 + 5 + 9 = 18. Beatriz e Diana tiram os cartões 2, 4, 6 e 8, cuja soma é 2 + 4 + 6 + 8 = 20; podemos também ver este total como

\underbrace{45}_{\substack{\text{total dos} \\ \text{cartões}}} - \underbrace{18}_{\substack{\text{pontos de Ana} \\ \text{e Cristina}}} - \underbrace{7}_{\substack{\text{carta que} \\ \text{ficou na mesa}}} = 20\ .

Logo Beatriz e Diana ganharam por 20 a 18.

b) A soma dos valores de todos os cartões é 1 + 2 + \dots + 9 = 45; se o 8 fica na mesa então, para que a partida termine empatada, 45 - 8 = 37 (ou então 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 37) pontos devem ser divididos igualmente pelas duas duplas, o que é impossível pois 37 é um número ímpar. Mais geralmente, se sobra um cartão de número par na mesa, a soma dos pontos das duplas é 45 - \text{\it número par} = \text{\it número ímpar}, e não pode haver empate neste caso.

c) Quando sobra o cartão de número 5, a soma dos pontos das duplas é 45 - 5 = 40, que é um número par. Se nesse caso uma partida termina empatada, cada dupla deve ter feito \frac{40}{2} = 20 pontos. Para argumentar que o empate pode realmente acontecer nessa situação, é necessário exibir uma partida que termine empatada em 20 a 20; um exemplo é quando uma dupla retira os cartões de números 1, 2, 8 e 9 e a outra retira os restantes.

d) 1ª solução: O cartão com menor número que pode sobrar é 1 e o maior é 9. Logo, a soma dos pontos feitos pelas duas duplas varia de 45 - 9 = 36 a 45 - 1 = 44, ou seja, os pontos das meninas são quatro números consecutivos cuja soma está entre 36 e 44. As possibilidades \{1,2,3,4\}, \{2,3,4,5\}, \{3,4,5,6\}, \{4,5,6,7\}, \{5,6,7,8\}, \{6,7,8,9\} e \{7,8,9,10\} não servem pois, em qualquer delas, a soma dos números é menor que 36. Analogamente \{10,11,12,13\}, \{11,12,13,14\}, \{12,13,14,15\}, \{13,14,15,16\} e \{14, 15, 16, 17\} não servem pois, em qualquer caso, a soma dos números é maior que 44.

Restam as possibilidades \{8,9,10,11\} e \{9,10,11,12\}. No primeiro caso, o cartão que ficou na mesa é o de número 45 - (8 + 9 + 10 + 11) = 7 e no segundo é o de número 45 - (9 + 10 + 11 + 12) = 3. Como o cartão que ficou na mesa não foi o de número 3, só resta a primeira possibilidade; concluímos que Ana fez 8 pontos, Beatriz fez 9, Cristina fez 10 e Diana fez 11. A dupla que venceu foi Beatriz e Diana, com 9 + 11 = 20 pontos contra 8 + 10 = 18 de Ana e Cristina.

2ª solução (com um pouco de álgebra, que pode estar fora do alcance de alunos do nível 1): Se x é a pontuação de Ana, então x + 1, x + 2 e x + 3 são as pontuações de Beatriz, Cristina e Diana, respectivamente. Logo a soma dos pontos das duas duplas é x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4x + 6, que como vimos no parágrafo anterior é no mínimo 36 e no máximo 44. Logo 36 \le 4x + 6 \le 44, ou seja, 30 \le 4x \le 38 e concluímos que 7{,}5 \le x \le 9{,}5. Logo x = 8 ou x = 9 são os possíveis números de pontos de Ana. Se x = 8 estamos no caso \{8,9,10,11\}, quando sobra o cartão de número 45 - (8 + 9 + 10 + 11) = 7, e para x = 9 estamos no caso \{9,10,11,12\}, quando sobra o cartão de número 45 - (9 + 10 + 11 + 12) = 3. O restante do argumento segue como no parágrafo anterior.

[Figura: retângulo com dois triângulos de vértices opostos e região triangular sombreada na base]

3ª solução (também algébrica): após chegar a 4x + 6 como na solução anterior, notamos que 4x + 6 é par para qualquer x; como o total de pontos é 45, deve sobrar um cartão ímpar entre 1, 5, 7 e 9, casos em que a soma dos pontos deve ser 44, 42, 40, 38 e 36, respectivamente. Das equações 4x + 6 = 44, 4x + 6 = 40, 4x + 6 = 38 e 4x + 6 = 36 apenas a terceira tem solução inteira, que é x = 8. O restante da solução segue como acima.

Notamos que há apenas duas partidas que satisfazem as condições do enunciado; elas estão descritas nas linhas da tabela abaixo, que mostram os cartões de cada menina

Ana	Beatriz	Cristina	Diana
2 e 6	4 e 5	1 e 9	3 e 8
3 e 5	1 e 8	4 e 6	2 e 9

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os cartões ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Como o 7 sobrou, Ana e Cristina pegaram os quatro restantes: 1, 3, 5 e 9. A dupla delas fez 1+3+5+9=18 pontos.

Sobraram para Beatriz e Diana os cartões 2, 4, 6 e 8, que somam 2+4+6+8=20 pontos.

Como 20>18, Beatriz e Diana venceram, com 20 pontos contra 18.

b) A soma de todos os cartões é 1+2+\cdots+9=45. Se o 8 sobra, as duas duplas dividem 45-8=37 pontos.

Para haver empate, cada dupla teria de fazer 37\div 2=18{,}5 pontos. Isso é impossível, porque os pontos são números inteiros. Em outras palavras, a soma 37 é ímpera e não pode ser dividida em duas parcelas iguais.

Não, a partida não pode terminar empatada.

c) Se o 5 sobra, as duplas dividem 45-5=40 pontos, então o empate exigiria 20 pontos para cada dupla. Isso é possível. Basta dividir os cartões 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9 em dois grupos de soma 20:

Ana: 1 e 9; Cristina: 2 e 8, totalizando 10+10=20.
Beatriz: 3 e 7; Diana: 4 e 6, totalizando 10+10=20.

Sim, pode haver empate; por exemplo, com os cartões distribuídos como acima, cada dupla faz 20 pontos.

d) Seja x o ponto de Ana. Então Beatriz fez x+1, Cristina x+2 e Diana x+3. O total das quatro é 4x+6.

Se m é o cartão que sobrou, 4x+6=45-m, ou seja, m=39-4x. Como m está entre 1 e 9, temos x=8 (m=7) ou x=9 (m=3). Esses são os únicos valores possíveis (x=7 daria m=11, e x=10 daria m=-1).

Como uma das meninas tirou o cartão 3, ele não está na mesa, então m=7 e x=8.

Os pontos são: Ana 8, Beatriz 9, Cristina 10 e Diana 11. Isso é possível, por exemplo: Ana 3 e 5, Beatriz 1 e 8, Cristina 4 e 6, Diana 2 e 9.

Ana e Cristina: 8+10=18.
Beatriz e Diana: 9+11=20.

A dupla vencedora é a de Beatriz e Diana. Fez 20 pontos.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 1. Prova oficial ↗