Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Joãozinho coleciona números naturais cujo algarismo das unidades é a soma dos outros algarismos. Por exemplo, ele colecionou 10023, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3.

Ilustração de um menino escrevendo em uma lousa: 2349 com sinal de confirmação e a adição 2+3+4=9; e 3105 riscado com a expressão 3+1+0≠5

(a) Na coleção de Joãozinho há um número que tem 4 algarismos e cujo algarismo das unidades é 1. Que número é esse?

(b) Qual é o maior número sem o algarismo 0 que pode aparecer na coleção?

(c) Qual é o maior número sem algarismos repetidos que pode aparecer na coleção?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Joãozinho coleciona números naturais cujo algarismo das unidades é a soma dos outros algarismos. Por exemplo, ele colecionou 10023, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3.

Ilustração de um menino escrevendo em uma lousa: 2349 com sinal de confirmação e a adição 2+3+4=9; e 3105 riscado com a expressão 3+1+0≠5

(a) Na coleção de Joãozinho há um número que tem 4 algarismos e cujo algarismo das unidades é 1. Que número é esse?

(b) Qual é o maior número sem o algarismo 0 que pode aparecer na coleção?

(c) Qual é o maior número sem algarismos repetidos que pode aparecer na coleção?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Há apenas três maneiras de escrever 1 como soma de três números naturais: 1 = 1 + 0 + 0, 1 = 0 + 1 + 0 e 1 = 0 + 0 + 1, que nos dão as possibilidades 1001, 0101 e 0011. Os números 0101 e 0011 devem ser descartados, pois não têm quatro algarismos significativos. Logo na coleção do Joãozinho aparece o número 1001.

b) Primeiro notamos que se um número com algarismos não nulos está na coleção, então ele tem no máximo 10 algarismos. De fato, se ele tivesse 11 ou mais algarismos não nulos então a soma de todos seus algarismos, exceto o das unidades, seria no mínimo 10, o que não é possível pois o maior algarismo é o 9. Logo todos os números com algarismos não nulos na coleção têm no máximo 10 algarismos, o que mostra que existe um maior número sem o 0 na coleção.

Vamos supor que a coleção do Joãozinho está completa. O número 2316 está na coleção; trocando o 3 por 111 obtemos 211116, que também está na coleção e é maior que 2316, pois tem mais algarismos. Em geral, se um número sem o algarismo 0 está na coleção e tem algum algarismo que não o das unidades diferente de 1, podemos “espichar” o número, trocando esse algarismo por uma sequência de 1’s e obtendo um novo número, que está na coleção e é maior que o primeiro. Logo o maior número com algarismos não nulos na coleção deve ter todos seus algarismos iguais a 1, com exceção do algarismo das unidades, que é igual ao número de 1’s que o precedem. Como o maior algarismo das unidades possível é 9, segue que o número procurado é \underbrace{111111111}_{\text{nove 1's}}9.

Notamos que a coleção pode ter números arbitrariamente grandes com o algarismo 0, como (por exemplo) 101, 1001, 10001 e assim por diante.

c) Um número da coleção não pode ter seis algarismos distintos, pois nesse caso a soma dos cinco algarismos à esquerda do algarismo das unidades seria no mínimo 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Por outro lado, a coleção pode ter números de cinco algarismos distintos como, por exemplo, 25108. Se um destes números tem o algarismo das unidades diferente de 9, podemos “aumentá-lo” adicionando 1 ao algarismo das unidades e 1 ao algarismo das dezenas de milhares (que, claramente, não pode ser 9), sem sair da coleção. Por exemplo, o número 43108 pode ser “aumentado” para 53109, que também está na coleção. Logo o maior número de cinco algarismos distintos na coleção deve ter 9 como algarismo das unidades. Basta agora escrever 9 como soma de quatro parcelas distintas em ordem decrescente para “montar“ nosso número; segue imediatamente que a decomposição procurada é 9 = 6 + 2 + 1 + 0 e obtemos o número 62109.

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Resolução comentada

a) O último algarismo é 1, então a soma dos outros três algarismos deve ser 1. Isso só acontece com um algarismo 1 e dois algarismos 0. O primeiro algarismo de um número não pode ser 0, então ele é o 1 e os outros dois são 0. O número é 1001, pois 1+0+0=1.

Resposta: 1001

b) O último algarismo é a soma dos outros, e um algarismo vale no máximo 9. Logo, a soma dos outros algarismos é no máximo 9.

Como nenhum algarismo é 0, cada um dos outros vale pelo menos 1. Com isso, há no máximo 9 algarismos antes do último, e o número tem no máximo 10 algarismos.

Para ter 10 algarismos, os nove primeiros devem ser todos 1, com soma 9, e o último é 9. Um número com 10 algarismos é maior que qualquer um com menos algarismos, e esse é o único com 10 algarismos possível. O número é 1111111119.

Resposta: 1111111119

c) Aqui o 0 pode aparecer, mas os algarismos não se repetem. De novo, a soma dos algarismos que vêm antes do último é no máximo 9.

Cinco algarismos distintos antes do último dariam soma mínima 0+1+2+3+4=10>9, o que é impossível. Então há no máximo 4 algarismos antes do último, e o número tem no máximo 5 algarismos.

Para o número ser o maior possível, o primeiro algarismo deve ser o maior possível. Se ele fosse 7, os outros três antes do último somariam no mínimo 0+1+2=3, e a soma seria 10>9. Então o primeiro é no máximo 6.

Com primeiro algarismo 6, os outros três só podem ser 0, 1 e 2, com soma total 6+0+1+2=9. O último algarismo é 9, que não repete nenhum outro. Para o número ser o maior possível, colocamos 2, 1, 0 em ordem decrescente: 62109.

Resposta: 62109

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2ª fase 2009 · Nível 1. Prova oficial ↗