Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Na figura, ABCD é um paralelogramo de área 20\ \text{cm}^2 e lados medindo 4\ \text{cm} e 6\ \text{cm}. Os pontos M, N, P e Q são os centros dos quadrados construídos sobre os lados do paralelogramo.

Paralelogramo ABCD com quadrados construídos externamente sobre seus lados em linhas pontilhadas e centros identificados por M, N, P e Q, conectados aos vértices do paralelogramo formando o polígono AMBNCPDQ.

(a) Calcule a área do polígono AMBNCPDQ.

(b) Mostre que os ângulos M\hat{A}Q e M\hat{B}N têm a mesma medida.

(c) Mostre que MNPQ é um quadrado e calcule sua área.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, ABCD é um paralelogramo de área 20\ \text{cm}^2 e lados medindo 4\ \text{cm} e 6\ \text{cm}. Os pontos M, N, P e Q são os centros dos quadrados construídos sobre os lados do paralelogramo.

Paralelogramo ABCD com quadrados construídos externamente sobre seus lados em linhas pontilhadas e centros identificados por M, N, P e Q, conectados aos vértices do paralelogramo formando o polígono AMBNCPDQ.

(a) Calcule a área do polígono AMBNCPDQ.

(b) Mostre que os ângulos M\hat{A}Q e M\hat{B}N têm a mesma medida.

(c) Mostre que MNPQ é um quadrado e calcule sua área.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para calcular a área do polígono AMBNCPDQ, basta observar que ele pode ser dividido no paralelogramo ABCD e nos triângulos AMB, BNC, CPD e DQA. Como M, N, P e Q são centros de quadrados, a área de cada um desses triângulos é um quarto da área do quadrado correspondente. Como dois desses quadrados têm área 4^2 = 16 e os outros dois têm área 6^2 = 36, a área procurada é

\begin{aligned} &\text{área}(ABCD) + \text{áreas dos triângulos} \\ &= 20 + \frac{1}{4}(16 + 16 + 36 + 36) = 46\text{ cm}^2. \end{aligned}

b) Seja \alpha a medida do ângulo D\hat{A}B. Como ABCD é um paralelogramo, segue que A\hat{B}C = 180^\circ - \alpha. Por outro lado, como M, N e Q são centros dos quadrados correspondentes, os ângulos marcados em preto na figura ao lado são todos iguais a 45^\circ. Logo

M\hat{A}Q = Q\hat{A}D + D\hat{A}B + B\hat{A}M = 45^\circ + \alpha + 45^\circ = \alpha + 90^\circ

e

\begin{aligned} M\hat{B}N &= 360^\circ - (A\hat{B}M + A\hat{B}C + N\hat{B}C) \\ &= 360^\circ - [45^\circ + (180^\circ - \alpha) + 45^\circ] \\ &= \alpha + 90^\circ \end{aligned}

donde M\hat{A}Q = M\hat{B}N.

[Figura: Paralelogramo ABCD com quadrados construídos externamente aos seus lados e centros M, N, P e Q. Os segmentos unem os centros aos vértices adjacentes, destacando os ângulos de 45° formados pelas diagonais parciais com os lados do paralelogramo, o ângulo interno DÂB assinalado como α e o ângulo externo correspondente em B assinalado como 180° - α, além do quadrilátero MNPQ tracejado.]

c) Como os quadrados sobre AB e CD são iguais, bem como os quadrados sobre BC e AD, e como M, N, P e Q são centros desses quadrados, temos AM = MB = CP = PD e BN = NC = AQ = QD. Por outro lado, segue do item anterior que M\hat{A}Q = M\hat{B}N = N\hat{C}P = P\hat{D}Q, donde os triângulos QAM, MBN, NCP e PDQ são congruentes. Como MNPQ é obtido de AMBNCPDQ, retirando-se os triângulos QAM e NCP e adicionando-se os triângulos MBN e PDQ, temos \text{área}(MNPQ) = \text{área}(AMBNCPDQ) = 46\text{ cm}^2.

A congruência dos triângulos QAM, NBM, NCP e QDP mostra que QM = MN = NP = PQ, ou seja, MNPQ é um losango. Para mostrar que MNPQ é um quadrado, basta então mostrar que um de seus ângulos internos é igual a 90^\circ; vamos fazer isso para Q\hat{M}N. Como M é o centro do quadrado sobre AB, temos que A\hat{M}B = 90^\circ; por outro lado, da congruência dos triângulos AMQ e MBN tiramos Q\hat{M}A = B\hat{M}N. Logo

Q\hat{M}N = B\hat{M}N + Q\hat{M}B = Q\hat{M}A + Q\hat{M}B = 90^\circ

e segue que MNPQ é um quadrado.

Alternativamente, basta mostrar que QM = NP e que Q\hat{M}N = 90^\circ, como acima, e finalizar argumentando (por exemplo, por simetria) que a situação é idêntica nos outros vértices.

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Resolução comentada

a) Os lados medem AB=CD=4 e BC=AD=6, como na figura. O polígono é formado pelo paralelogramo mais quatro triângulos, AMB, BNC, CPD e DQA.

Cada triângulo é retângulo e isósceles, com hipotenusa igual ao lado do paralelogramo. O vértice do ângulo reto é o centro do quadrado, e os catetos são metade das diagonais do quadrado. Um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa \ell tem catetos \ell/\sqrt2, logo área \dfrac12\cdot\dfrac{\ell^2}{2}=\dfrac{\ell^2}{4}.

Sobre os lados de 4 (dois triângulos): 2\cdot\dfrac{16}{4}=8\ \text{cm}^2.
Sobre os lados de 6 (dois triângulos): 2\cdot\dfrac{36}{4}=18\ \text{cm}^2.

Área do polígono: 20+8+18= 46\ \text{cm}^2.

b) Seja \alpha=D\hat AB. Então A\hat BC=180^\circ-\alpha. Como M\hat AB=D\hat AQ=45^\circ (ângulos de 45^\circ do triângulo isósceles sobre cada lado):

M\hat AQ=45^\circ+\alpha+45^\circ=90^\circ+\alpha.

Em B, o ângulo M\hat BN é o que não contém o paralelogramo. Os ângulos em torno de B somam 360^\circ, e M\hat BA=C\hat BN=45^\circ:

M\hat BN=360^\circ-\left(45^\circ+(180^\circ-\alpha)+45^\circ\right)=90^\circ+\alpha.

Portanto M\hat AQ=M\hat BN=90^\circ+\alpha. Os dois ângulos são iguais.

c) Temos MA=MB=2\sqrt2 e AQ=BN=3\sqrt2 (metade da diagonal dos quadrados de lados 4 e 6). Pelo item (b), os ângulos M\hat AQ e M\hat BN são iguais. Pelo caso LAL, MAQ\equiv MBN, então MQ=MN.

O mesmo argumento vale nos outros vértices. Em C e em D aparecem os mesmos lados 2\sqrt2 e 3\sqrt2 com ângulo 90^\circ+\alpha. Logo MQ=MN=NP=PQ, e MNPQ é um losango.

Para o ângulo reto, considere a rotação de 90^\circ em torno de M que leva A em B. Isso é possível porque MA=MB e A\hat MB=90^\circ. Essa rotação leva o triângulo MAQ no triângulo MBN, pois eles são congruentes e têm a mesma orientação. Assim Q vai para N, e então Q\hat MN=90^\circ. Um losango com um ângulo reto é quadrado.

Para a área, aplicamos a lei dos cossenos em MAQ, com \cos(90^\circ+\alpha)=-\sen\alpha:

MQ^2=8+18-2\cdot2\sqrt2\cdot3\sqrt2\cdot(-\sen\alpha)=26+24\,\sen\alpha.

A área do paralelogramo é 4\cdot6\cdot\sen\alpha=20, logo \sen\alpha=\dfrac56. Então MQ^2=26+24\cdot\dfrac56=26+20=46.

Área de MNPQ: 46\ \text{cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2008

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