Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Um conjunto de inteiros consecutivos é equilibrado se ele pode ser dividido em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos, de modo que:

os dois subconjuntos não tenham elementos em comum;
a soma dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos elementos do outro;
a soma dos quadrados dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos quadrados dos elementos do outro.

Por exemplo, o conjunto \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\} é equilibrado, pois podemos dividi-lo nos subconjuntos \{7, 10, 12, 13\} e \{8, 9, 11, 14\}, e

7 + 10 + 12 + 13 = 8 + 9 + 11 + 14

7^2 + 10^2 + 12^2 + 13^2 = 8^2 + 9^2 + 11^2 + 14^2.

(a) Verifique que o conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} é equilibrado.

(b) Mostre que qualquer conjunto de oito inteiros consecutivos é equilibrado.

(c) Mostre que nenhum conjunto de quatro inteiros consecutivos é equilibrado.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Um conjunto de inteiros consecutivos é equilibrado se ele pode ser dividido em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos, de modo que:

os dois subconjuntos não tenham elementos em comum;
a soma dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos elementos do outro;
a soma dos quadrados dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos quadrados dos elementos do outro.

Por exemplo, o conjunto \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\} é equilibrado, pois podemos dividi-lo nos subconjuntos \{7, 10, 12, 13\} e \{8, 9, 11, 14\}, e

7 + 10 + 12 + 13 = 8 + 9 + 11 + 14

7^2 + 10^2 + 12^2 + 13^2 = 8^2 + 9^2 + 11^2 + 14^2.

(a) Verifique que o conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} é equilibrado.

(b) Mostre que qualquer conjunto de oito inteiros consecutivos é equilibrado.

(c) Mostre que nenhum conjunto de quatro inteiros consecutivos é equilibrado.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Dividimos o conjunto \{1,2,3,4,5,6,7,8\} nos subconjuntos \{1,4,6,7\} e \{2,3,5,8\} . Como

1+4+6+7 = 18 = 2+3+5+8

e

1^2+4^2+6^2+7^2 = 102 = 2^2+3^2+5^2+8^2.

vemos que \{1,2,3,4,5,6,7,8\} é equilibrado.

b) Seja A = \{a+1,a+2,a+3,\ldots,a+8\} um conjunto arbitrário de 8 números inteiros consecutivos. Do item (a) sabemos que 1+4+6+7 = 2+3+5+8 () e 1^2+4^2+6^2+7^2 = 2^2+3^2+5^2+8^2 (**). Da primeira igualdade segue que

(a+1)+(a+4)+(a+6)+(a+7) = (a+2)+(a+3)+(a+5)+(a+8)

ou seja, podemos dividir A nos subconjuntos \{a+1,a+4,a+6,a+7\} e \{a+2,a+3,a+5,a+8\} que têm a mesma soma. Para ver que a condição na soma dos quadrados também vale, basta calcular

(a+1)^2+(a+4)^2+(a+6)^2+(a+7)^2 = 4a^2+2a(1+4+6+7)+(1^2+4^2+6^2+7^2)

e

(a+2)^2+(a+3)^2+(a+5)^2+(a+8)^2 = 4a^2+2a(2+3+5+8)+(2^2+3^2+5^2+8^2).

Usando () e (**), concluímos que A é equilibrado.

Uma solução análoga é quando escrevemos A = \{a,a+1,a+2,\ldots,a+7\} . Neste caso, deve-se observar primeiramente que \{0,1,2,3,4,5,6,7\} é equilibrado; para ver isto, basta dividí-lo em \{0,3,5,6\} e \{1,2,4,7\} . O restante da solução é idêntico, dividindo A nos subconjuntos \{a,a+3,a+5,a+6\} e \{a+1,a+2,a+4,a+7\} .

c) Suponhamos que exista um número inteiro a tal que o conjunto \{a,a+1,a+2,a+3\} seja equilibrado. A soma dos elementos desse conjunto é 4a+6 ; para que ele satisfaça a primeira condição de um conjunto equilibrado, devemos dividí-lo em dois subconjuntos de dois elementos cada um e tais que a soma dos elementos de cada um deles seja \frac{1}{2}(4a+6) = 2a+3 ; isto só é possível quando os subconjuntos são \{a,a+3\} e \{a+1,a+2\} . Para que a segunda condição de um conjunto equilibrado seja satisfeita, devemos ter

a^2+(a+3)^2 = (a+1)^2+(a+2)^2

ou seja

2a^2+6a+9 = 2a^2+6a+5.

Simplificando essa última igualdade chegamos a 4 = 0 , um absurdo. Logo nenhum conjunto com quatro inteiros consecutivos é equilibrado.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os subconjuntos precisam ter 4 elementos cada. Tomamos \{1,4,6,7\} e \{2,3,5,8\}.

Somas: 1+4+6+7=18 e 2+3+5+8=18.

Quadrados: 1+16+36+49=102 e 4+9+25+64=102.

As duas condições valem, então o conjunto é equilibrado. Os subconjuntos \{1,4,6,7\} e \{2,3,5,8\} satisfazem as condições.

b) Sejam n, n+1, \dots, n+7 os oito inteiros consecutivos. Repetimos o padrão dos itens anteriores, que usa os deslocamentos 0,3,5,6 e 1,2,4,7:

A=\{n,\ n+3,\ n+5,\ n+6\},\qquad B=\{n+1,\ n+2,\ n+4,\ n+7\}.

Os conjuntos são disjuntos e têm 4 elementos cada.

Somas: 4n+(0+3+5+6)=4n+14 e 4n+(1+2+4+7)=4n+14.

Quadrados: como (n+k)^2=n^2+2kn+k^2, a soma em cada conjunto é 4n^2+2n\cdot(\text{soma dos } k)+(\text{soma dos } k^2).

Em A: 4n^2+2n\cdot 14+(0+9+25+36)=4n^2+28n+70.
Em B: 4n^2+2n\cdot 14+(1+4+16+49)=4n^2+28n+70.

São iguais para qualquer n. Logo, todo conjunto de oito inteiros consecutivos é equilibrado.

c) Sejam n, n+1, n+2, n+3. Cada subconjunto deve ter 2 elementos. O elemento n está em um subconjunto, e seu par pode ser n+1, n+2 ou n+3. Há três divisões possíveis:

\{n,n+1\} e \{n+2,n+3\}: as somas são 2n+1 e 2n+5, diferentes.
\{n,n+2\} e \{n+1,n+3\}: as somas são 2n+2 e 2n+4, diferentes.
\{n,n+3\} e \{n+1,n+2\}: as somas são 2n+3 e 2n+3, iguais. Falta olhar os quadrados:

n^2+(n+3)^2=2n^2+6n+9,\qquad (n+1)^2+(n+2)^2=2n^2+6n+5.

A diferença é 4\neq 0, então os quadrados não coincidem.

Nenhuma divisão satisfaz as condições, portanto nenhum conjunto de quatro inteiros consecutivos é equilibrado.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗