PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008
Considere uma pilha de cartas numeradas de 1 a 104. Um embaralhamento dessa pilha consiste em intercalar as 52 cartas de cima com as 52 de baixo, de modo que a carta que estava no topo fique em segundo lugar de cima para baixo. A figura mostra dois embaralhamentos seguidos a partir da situação inicial, na qual as cartas estão dispostas em ordem crescente de cima para baixo.
(a) Complete a tabela.
| número de embaralhamentos a partir da situação inicial | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| posição da carta de número 5 a partir do topo da pilha | 10ª |
(b) Partindo da situação inicial, qual será a posição da carta de número n após um embaralhamento?
(c) Partindo da situação inicial, ache duas cartas que trocam de lugar uma com a outra a cada embaralhamento.
(d) Um grupo de três cartas que trocam de lugar entre si a cada embaralhamento é chamado trio invariante. Partindo da situação inicial, encontre todos os trios invariantes.
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Resolução comentada
Resolução comentada
Ideia central. Veja como cada posição p se transforma em um embaralhamento:
- se p\le 52 (metade de cima), a carta vai para a posição 2p;
- se p\ge 53 (metade de baixo), a carta vai para a posição 2(p-52)-1=2p-105.
Nos dois casos, a nova posição é o resto de 2p na divisão por 105. Confira na figura: a carta 53 vai para a posição 1 e a carta 104 vai para a posição 103.
a) No início, a carta 5 está na posição 5. A cada embaralhamento, a posição é multiplicada por 2 e, se passar de 104, subtrai-se 105:
- 5\to 10
- 10\to 20
- 20\to 40
- 40\to 80
- 80\to 160-105=55
- 55\to 110-105=5
A carta 5 volta ao lugar depois de 6 embaralhamentos.
Tabela: 10ª, 20ª, 40ª, 80ª, 55ª, 5ª.
b) Partindo da situação inicial, a carta n está na posição n. Pela regra acima, depois de um embaralhamento ela ocupa:
- a posição 2n, se 1\le n\le 52;
- a posição 2n-105, se 53\le n\le 104.
c) Seja a a posição de uma carta e b a posição da outra. Para trocarem de lugar a cada embaralhamento, devemos ter b\equiv 2a e a\equiv 2b \pmod{105}.
Substituindo, a\equiv 4a, ou seja, 3a\equiv 0 \pmod{105}. Logo a é múltiplo de 35.
Tomando a=35, temos b=70. Confirmando: 35\to 70 e 70\to 140-105=35.
As cartas 35 e 70 trocam de lugar a cada embaralhamento.
d) Em um trio, uma carta na posição a volta à posição a depois de 3 embaralhamentos. Então 8a\equiv a\pmod{105}, isto é, 7a\equiv 0 \pmod{105}, e a é múltiplo de 15.
As possibilidades são a=15,30,45,60,75,90. Nenhuma delas é múltiplo de 35, então nenhuma pertence ao par do item (c). Nenhuma é fixa, pois 105\nmid a. Portanto cada uma pertence a um ciclo de tamanho exatamente 3.
Seguindo os ciclos:
- 15\to 30\to 60\to 120-105=15
- 45\to 90\to 180-105=75\to 150-105=45
Como as cartas começam na posição de mesmo número, os trios são:
\{15,30,60\} e \{45,75,90\}.
Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗