Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem preenchida.

Diagrama com círculos contendo números de 1 a 7, ligados por flechas apontando para números maiores. No topo está o 7, que recebe flechas do 4 e do 6. O 4 recebe flecha do 3, que recebe flecha do 1. O 6 recebe flechas do 2 e do 5.

(a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida.

(b) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5?

Diagrama com 5 círculos vazios interligados por flechas apontando para cima: o círculo do topo recebe flechas de dois círculos abaixo; o círculo da direita, por sua vez, recebe flechas de dois outros círculos na base.

(c) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7?

Diagrama com 7 círculos vazios interligados por flechas apontando para cima: o círculo do topo recebe flechas de dois círculos abaixo; o da direita recebe flechas de dois outros círculos; e o mais à direita destes recebe flechas de mais dois círculos na base.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem preenchida.

Diagrama com círculos contendo números de 1 a 7, ligados por flechas apontando para números maiores. No topo está o 7, que recebe flechas do 4 e do 6. O 4 recebe flecha do 3, que recebe flecha do 1. O 6 recebe flechas do 2 e do 5.

(a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida.

(b) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5?

Diagrama com 5 círculos vazios interligados por flechas apontando para cima: o círculo do topo recebe flechas de dois círculos abaixo; o círculo da direita, por sua vez, recebe flechas de dois outros círculos na base.

(c) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7?

Diagrama com 7 círculos vazios interligados por flechas apontando para cima: o círculo do topo recebe flechas de dois círculos abaixo; o da direita recebe flechas de dois outros círculos; e o mais à direita destes recebe flechas de mais dois círculos na base.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Só existe uma maneira de preencher o diagrama, como mostramos a seguir.

O número 9 não pode ficar abaixo de nenhum número, logo deve ficar no topo.
Acima do número 7 só podemos colocar o 9 e 8. Como o 9 já está no topo, o 8 ficará acima do 7.
O número 6 não pode ficar abaixo do 5 nem do 2, logo ficará abaixo do 8 , ao lado do 7.
O número 1 é o único que pode ficar abaixo do 2.
Os números 3 e 4 devem ficar abaixo do 5, com o 3 debaixo do 4.

A seqüência de figuras a seguir ilustra as etapas deste raciocínio.

[Figura: sequência de sete diagramas ilustrando o preenchimento gradativo dos círculos da árvore com os números de 1 a 9]

b) 1^a solução: Primeiro vamos examinar o diagrama menor de três bolinhas marcadas pelo triângulo pontilhado, à esquerda. Para que ele fique bem preenchido com quaisquer três números positivos distintos, o maior número deve ficar no topo e os outros dois poderão ser colocados nos dois círculos de baixo de 2 maneiras diferentes. Por exemplo, se os números forem 3, 6 e 8, podemos dispô-los das 2 maneiras ilustradas à direita.

[Figura: diagrama com 5 círculos destacando um subconjunto de 3 círculos por um triângulo pontilhado e uma bolinha sombreada, seguido de dois esquemas com 3 bolinhas contendo o número 8 no topo e os números 3 e 6 abaixo]

Para que o diagrama completo do problema fique bem preenchido com os números de 1 a 5, o 5 deve ficar no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 4. As três casas restantes, marcadas com o triângulo pontilhado, formam o diagrama analisado acima e poderão então ser preenchidas de 2 maneiras, com os três números restantes. Resumindo, podemos preencher o diagrama do seguinte modo:

preenchemos o círculo do topo com o 5: 1 possibilidade;
preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3 ou 4 : 4 possibilidades;
preenchemos as três casas que faltam com os três algarismos restantes: 2 possibilidades.

Logo o diagrama pode ser preenchido de 1 \times 4 \times 2 = 8 maneiras diferentes. Notamos que este raciocínio se aplica para quaisquer cinco números positivos distintos. Isto será importante na resolução do próximo item.

2^a solução: Notamos primeiro que o 5 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 4 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 5, e então

se o 4 ocupar a bolinha sombreada, o 3 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 5, e o 1 e o 2 podem ser colocados de duas maneiras diferentes nas duas bolinhas que sobram; temos duas possibilidades neste caso;
se o 4 ocupar a outra bolinha abaixo do 5, a casa sombreada pode ser ocupada por qualquer dos números de 1 a 3, e os outros dois números podem ser colocados nas duas últimas bolinhas vazias; neste caso temos 3 \times 2 = 6 possibilidades.

Deste modo, o número de maneiras de preencher o diagrama é 2 + 6 = 8.

c) 1^a solução: Para que o diagrama fique bem preenchido com os números de 1 a 7, temos que colocar o 7 no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 6. A parte circundada pela linha pontilhada foi analisada no item (b) e pode ser preenchida com os 5 números restantes de 8 formas diferentes. Ou seja, podemos preencher o diagrama como segue:

[Figura: diagrama em árvore com 7 círculos, sendo um sombreado e cinco contornados por uma linha pontilhada triangular]

preenchemos o círculo do topo com o 7: 1 possibilidade;
preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3 , 4, 5 ou 6: 6 possibilidades;
preenchemos a parte circundada com os algarismos restantes: 8 possibilidades.

Logo o diagrama pode ser preenchido de 1 \times 6 \times 8 = 48 maneiras diferentes.

2^a solução: Notamos primeiro que o 7 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 6 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 7, e então

se o 6 ocupar a bolinha sombreada, os números de 1 a 5 devem ocupar as casas circundadas com a linha pontilhada. De acordo com o item (b), isto pode ser feito de 8 maneiras distintas.
se o 6 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 7, podemos colocar qualquer número de 1 a 5 na casa sombreada e distribuir os números restantes pelas quatro bolinhas ainda vazias, o que pode ser feito de 8 maneiras diferentes, de acordo com o item (b). Aqui temos 5 \times 8 = 40 possibilidades.

Logo o diagrama pode ser preenchido de 8 + 40 = 48 maneiras diferentes.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O número do topo é maior que todos os outros, então vale 9.

O círculo vazio da direita recebe flechas de 7 e de outro círculo, logo é maior que 7. Como 9 já está no topo, ele vale 8.

O círculo que aponta para o 2 só pode ser 1.

Sobram 3, 4 e 6. No ramo do 5 há uma cadeia: círculo da base < círculo do meio <5. Só 3 e 4 são menores que 5, então a base vale 3 e o meio vale 4. O 6 vai para o círculo vazio que sobra, ao lado do 7. Ele é menor que 8, como exigido.

Preenchimento: topo 9; à direita 8, com 7 e 6 abaixo dele; 5 com 4 e depois 3 abaixo; 2 com 1 abaixo.

Um preenchimento é: topo 9, círculo da direita 8 (com 7 e 6 abaixo), ramo do 5 com 4 e 3, ramo do 2 com 1.

b) O topo recebe flechas de todos os outros círculos, direta ou indiretamente, então vale 5.

O círculo do meio recebe flechas de dois círculos da base e é maior que eles. Ele é o maior entre esses três números.

Escolhemos o número do círculo isolado da esquerda: 4 possibilidades.
Dos 3 números que sobram, o maior vai para o círculo do meio.
Os outros dois ocupam a base em 2 ordens.

Total: 4\cdot 2 = 8.

8 maneiras.

c) Novamente o topo vale 7.

O círculo isolado à esquerda do topo pode ser qualquer um dos 6 números restantes: 6 possibilidades.
Dos 5 que sobram, o círculo logo abaixo do topo, à direita, é maior que todos os que estão abaixo dele, então recebe o maior: 1 possibilidade.
Dos 4 que sobram, escolhemos o do círculo isolado do segundo nível: 4 possibilidades.
Dos 3 que sobram, o maior vai para o círculo do terceiro nível, e os outros dois ocupam a base em 2 ordens.

Total: 6\cdot 1\cdot 4\cdot 2 = 48.

48 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗