Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

O troca-inverte é uma brincadeira com números em que há dois tipos de movimentos:

troca: separar o número em dois grupos e trocar a ordem desses grupos;
inverte: escrever o número na ordem inversa.

Por exemplo, começando com 35421 podemos obter 31245, como mostrado abaixo.

(a) Brincando com o troca-inverte e começando com 123456, como podemos obter 165432?

(b) Brincando com o troca-inverte e começando com 123, como podemos obter todos os outros cinco números de três algarismos diferentes que podem ser escritos com 1, 2 e 3?

(c) Por que, no troca-inverte, começando com 123456 é impossível obter 243156?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

O troca-inverte é uma brincadeira com números em que há dois tipos de movimentos:

troca: separar o número em dois grupos e trocar a ordem desses grupos;
inverte: escrever o número na ordem inversa.

Por exemplo, começando com 35421 podemos obter 31245, como mostrado abaixo.

(a) Brincando com o troca-inverte e começando com 123456, como podemos obter 165432?

(b) Brincando com o troca-inverte e começando com 123, como podemos obter todos os outros cinco números de três algarismos diferentes que podem ser escritos com 1, 2 e 3?

(c) Por que, no troca-inverte, começando com 123456 é impossível obter 243156?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Aqui estão três soluções, entre outras:

123456 \xrightarrow{\text{inverte}} \boxed{65432}1 \xrightarrow{\text{troca}} 1\boxed{65432}

\boxed{1}23456 \xrightarrow{\text{troca}} 23456\boxed{1} \xrightarrow{\text{inverte}} 165432

\boxed{12}3456 \xrightarrow{\text{troca}} 3456\boxed{12} \xrightarrow{\text{inverte}} \boxed{2}16543 \xrightarrow{\text{troca}} 16543\boxed{2}

b) Existem 5 números diferentes formados com os algarismos 1, 2 e 3, além de 123. Eles são 132, 213, 231, 312 e 321. Vamos mostrar como obter todos a partir de 123:

\boxed{1}23 \xrightarrow{\text{troca}} 23\boxed{1} \xrightarrow{\text{inverte}} 132

123 \xrightarrow{\text{inverte}} \boxed{3}21 \xrightarrow{\text{troca}} 21\boxed{3}

\boxed{1}23 \xrightarrow{\text{troca}} 23\boxed{1}

\boxed{12}3 \xrightarrow{\text{troca}} 3\boxed{12}

123 \xrightarrow{\text{inverte}} 321

Pode-se também obter todos estes números através de uma única seqüência de troca e inverte ; por exemplo,

12\boxed{3} \xrightarrow{\text{troca}} 31\boxed{2} \xrightarrow{\text{troca}} \boxed{2}31 \xrightarrow{\text{inverte}} 13\boxed{2} \xrightarrow{\text{troca}} 21\boxed{3} \xrightarrow{\text{troca}} \boxed{3}21

c) Em um número qualquer formado com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, temos os algarismos das “pontas” e os do “meio”; por exemplo, em 621354 os algarismos das pontas são 6 e 4 e os algarismos 2, 1, 3, e 5 estão no meio. Dizemos também que dois algarismos são vizinhos se um está ao lado do outro; no exemplo em questão, (2,1) e (3,5) são dois pares de vizinhos.

O movimento inverte troca os algarismos das pontas e mantém os vizinhos juntos. O movimento troca faz com que as pontas se tornem vizinhos e separa um par de vizinhos, fazendo com que eles se tornem pontas. Logo, começando com 123456, vemos que qualquer seqüência de movimento troca e inverte tem como resultado um número em que 1 e 6 são ou pontas ou vizinhos; como isso não acontece com 243156, é impossível transformar 123456 em 243156 com esses movimentos.

Alternativamente, podemos pensar nos algarismos do número 123456 escritos ao longo de um círculo orientado no sentido horário, como na figura ao lado. O movimento inverte muda o sentido de rotação deste ciclo e o movimento troca mantém este sentido; por outro lado, algarismos vizinhos, em particular o 1 e o 6, permanecem sempre vizinhos após qualquer destes movimentos. Como em 243156 o 1 e o 6 não são vizinhos, concluímos que é impossível transformar 123456 em 243156 com esses movimentos.

[Figura: Seis pontos dispostos em círculo numerados de 1 a 6 no sentido horário, conectados por arcos com setas apontando no sentido horário]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Primeiro, o que cada movimento faz. A troca pega um bloco do começo e passa para o fim (ou o contrário), como em 12453\to 53124. A inverte escreve o número de trás para a frente.

a)

O número procurado, 165432, é o início 123456 lido de trás para a frente, só que com o 1 na frente.

Inverte: 123456\to 654321.
Troca: separe 65432\,|\,1 e troque a ordem dos grupos, obtendo 1\,|\,65432.

Assim, 123456\to654321\to165432.

Inverte e depois troca (grupos 65432 e 1).

b)

Vamos obter os cinco números a partir de 123:

231: troca, com grupos 1\,|\,23\to 23\,|\,1.
312: troca, com grupos 12\,|\,3\to 3\,|\,12.
321: inverte.
213: inverte para 321; depois troca, com grupos 3\,|\,21\to 21\,|\,3.
132: inverte para 321; depois troca, com grupos 32\,|\,1\to 1\,|\,32.

Resumo: 231 e 312 saem de uma troca; 321 sai de uma inversão; 213 e 132 saem de inverte seguido de troca.

c)

Imagine os algarismos escritos em um círculo, com o último ligado ao primeiro. Em 123456, cada algarismo tem como vizinhos:

1: 6 e 2;
2: 1 e 3;
3: 2 e 4;
4: 3 e 5;
5: 4 e 6;
6: 5 e 1.

A troca apenas gira esse círculo, e a inverte apenas o espelha. Nenhuma das duas muda quem é vizinho de quem, só o ponto onde o círculo é "cortado". Então os pares de vizinhos são sempre os mesmos.

Em 243156, os algarismos 2 e 4 estão lado a lado. Mas no círculo original, os vizinhos de 2 são só 1 e 3, e o 4 não é um deles.

Logo, é impossível obter 243156, pois 2 e 4 nunca ficam vizinhos.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗