Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Para qualquer número positivo x, dizemos que os números x + 1 e \frac{x}{x + 1} são filhos de x e que os dois são irmãos. Por exemplo, \frac{3}{2} e \frac{1}{3} são irmãos, pois são filhos de \frac{1}{2}; de fato, \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + 1 e \frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1}.

Ilustração com três frações personificadas com braços, pernas e rostos: no centro, a fração 1/2 com traços de figura adulta; à esquerda, a fração 3/2; e à direita, a fração 1/3.

(a) Encontre um irmão de \frac{5}{7}.

(b) Um número pode ser filho de dois números positivos diferentes? Por quê?

(c) Mostre que \frac{1}{2008} é descendente de 1, isto é, ele é filho de um filho de um filho ... de um filho de 1.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Para qualquer número positivo x, dizemos que os números x + 1 e \frac{x}{x + 1} são filhos de x e que os dois são irmãos. Por exemplo, \frac{3}{2} e \frac{1}{3} são irmãos, pois são filhos de \frac{1}{2}; de fato, \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + 1 e \frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1}.

Ilustração com três frações personificadas com braços, pernas e rostos: no centro, a fração 1/2 com traços de figura adulta; à esquerda, a fração 3/2; e à direita, a fração 1/3.

(a) Encontre um irmão de \frac{5}{7}.

(b) Um número pode ser filho de dois números positivos diferentes? Por quê?

(c) Mostre que \frac{1}{2008} é descendente de 1, isto é, ele é filho de um filho de um filho ... de um filho de 1.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para facilitar a escrita da solução, vamos dizer que x é pai de y se y é filho de x.

a) Suponhamos que \frac{5}{7} seja filho de um número positivo x. Então \frac{5}{7} = x + 1 ou \frac{5}{7} = \frac{x}{x + 1}. A primeira equação leva a

x = \frac{5}{7} - 1 = -\frac{2}{7}

o que não pode acontecer pois x > 0. A segunda equação leva a

7x = 5(x + 1) = 5x + 5\text{ .}

donde 2x = 5 e segue que x = \frac{5}{2}. Logo o irmão de \frac{5}{7} é \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}.

b) 1^a solução: Notamos que se x é um número positivo então x + 1 > 1 (em particular, x + 1 é positivo) e x + 1 > x (isto vale para qualquer número, não só para os positivos). Da última desigualdade e do fato de que x + 1 é positivo concluímos que \frac{x}{x + 1} < 1; e como \frac{x}{x + 1} é um quociente de números positivos, concluímos que 0 < \frac{x}{x + 1} < 1. Logo dos filhos de x um é maior que 1 (o x + 1) e outro menor do que 1 (o \frac{x}{x + 1}); em particular, o 1 não tem pai. Vamos agora procurar os possíveis pais x de um número positivo y.

• se y > 1 então y = x + 1 e o pai de y é x = y - 1.

• se y < 1 então y = \frac{x}{x + 1} e o pai de y é x = \frac{y}{1 - y}.

Concluímos que se y é positivo e y \neq 1 então y só tem um pai.

2^a solução: Suponhamos que y seja filho de x e de z. Temos então as possibilidades x + 1 = z + 1, \frac{x}{x + 1} = \frac{z}{z + 1}, x + 1 = \frac{z}{z + 1} ou \frac{x}{x + 1} = z + 1; notamos que os dois últimos casos são equivalentes. No primeiro e no segundo caso obtemos x = z, e no terceiro chegamos a x(z + 1) = -1, que não tem solução pois x e z devem ser positivos. Logo, se y tem pai, ele é único.

c) Vamos chamar \frac{x}{x + 1} de filho menor de x. Quando x = \frac{1}{n} o filho menor de x é

\frac{x}{x + 1} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} = \frac{1}{n + 1}

Logo o filho menor de 1 é \frac{1}{2}, o filho menor de \frac{1}{2} é \frac{1}{3}, o filho menor de \frac{1}{3} é \frac{1}{4} e assim por diante, até chegarmos a \frac{1}{2008} como o filho menor de \frac{1}{2007}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Como \frac{5}{7}<1, ele não pode ser da forma x+1 com x>0, que sempre dá número maior que 1. Logo \frac{5}{7}=\frac{x}{x+1} para algum pai x.

7x=5(x+1)\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}.

Os filhos de \frac{5}{2} são \frac{5}{2}+1=\frac{7}{2} e \frac{5/2}{7/2}=\frac{5}{7}. O irmão de \frac{5}{7} é, portanto, \frac{7}{2}.

Resposta: \frac{7}{2}.

b) Observe que, para x>0:

x+1>1;
\frac{x}{x+1}<1, pois x<x+1.

Assim, um filho y só pode ser de um dos dois tipos, e o tipo é determinado por y.

Se y>1, então y=x+1, e o pai é x=y-1, único.
Se y<1, então y=\frac{x}{x+1}, o que dá y(x+1)=x, ou seja, x=\frac{y}{1-y}, também único.
Se y=1, nenhum dos dois tipos serve (x+1=1 daria x=0, que não é positivo), então 1 não é filho de ninguém.

Portanto o pai de um número, quando existe, é único.

Resposta: não, todo número que é filho tem um único pai.

c) Vamos mostrar que \frac{1}{n+1} é filho de \frac{1}{n}. Com x=\frac{1}{n}:

\frac{x}{x+1}=\frac{1/n}{(1+n)/n}=\frac{1}{n+1}.

Aplicando isso para n=1,2,3,\dots,2007 obtemos a cadeia

1\to\frac{1}{2}\to\frac{1}{3}\to\cdots\to\frac{1}{2007}\to\frac{1}{2008},

em que cada número é filho do anterior (da forma \frac{x}{x+1}). Então \frac{1}{2008} é filho de um filho de ... de um filho de 1, em 2007 passos.

Resposta: \frac{1}{2008} é descendente de 1, pela cadeia 1\to\frac12\to\frac13\to\cdots\to\frac1{2008}.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗