Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

Nesta questão todas as figuras são formadas por triângulos iguais. Veja como Chico Bento marcou \frac{2}{3} dos triângulos da figura ao lado.

Figura formada por 6 triângulos equiláteros idênticos, dos quais 4 estão marcados com um ponto preto

(a) Agora, marque você \frac{3}{4} dos triângulos da figura ao lado. Quantos triângulos você marcou?

Figura composta por 12 triângulos equiláteros idênticos

(b) Ajude Chico Bento marcando mais que \frac{1}{4} e menos que \frac{1}{3} dos triângulos da figura ao lado. Quantos triângulos você marcou?

Figura em formato de U composta por triângulos equiláteros idênticos

(c) Chico Bento marcou \frac{7}{12} dos triângulos da figura com a letra C e Doralina, por sua vez, marcou \frac{3}{4} dos triângulos com a letra D, de modo que todos os triângulos ficaram marcados. O número de triângulos marcados com duas letras corresponde a qual fração do número total de triângulos?

Triângulo grande subdividido em 36 triângulos menores idênticos

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Nesta questão todas as figuras são formadas por triângulos iguais. Veja como Chico Bento marcou \frac{2}{3} dos triângulos da figura ao lado.

Figura formada por 6 triângulos equiláteros idênticos, dos quais 4 estão marcados com um ponto preto

(a) Agora, marque você \frac{3}{4} dos triângulos da figura ao lado. Quantos triângulos você marcou?

Figura composta por 12 triângulos equiláteros idênticos

(b) Ajude Chico Bento marcando mais que \frac{1}{4} e menos que \frac{1}{3} dos triângulos da figura ao lado. Quantos triângulos você marcou?

Figura em formato de U composta por triângulos equiláteros idênticos

(c) Chico Bento marcou \frac{7}{12} dos triângulos da figura com a letra C e Doralina, por sua vez, marcou \frac{3}{4} dos triângulos com a letra D, de modo que todos os triângulos ficaram marcados. O número de triângulos marcados com duas letras corresponde a qual fração do número total de triângulos?

Triângulo grande subdividido em 36 triângulos menores idênticos

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A figura é composta de 12 triângulos iguais. Como \frac{3}{4} de 12 é \frac{3}{4} \times 12 = 9, devemos marcar 9 triângulos quaisquer, como ao lado (por exemplo). [Figura: malha geométrica composta por 12 triângulos equiláteros, dos quais 9 contêm um ponto preto centralizado]

b) A figura é composta de 24 triângulos iguais. Como \frac{1}{4} de 24 é igual 6 e \frac{1}{3} de 24 é igual a 8, concluímos que o número de triângulos a serem pintados é um número maior do que 6 e menor do que 8. Logo devem ser marcados 7 triângulos quaisquer, como ao lado (por exemplo). [Figura: malha geométrica em formato estilizado de asas ou coração composta por 24 triângulos equiláteros, dos quais 7 contêm um ponto preto centralizado]

c) 1^a solução: A figura é composta de 36 triângulos iguais. Chico Bento escreveu C em \frac{7}{12} \times 36 = 21 triângulos e Doralina escreveu D em \frac{3}{4} \times 36 = 27 triângulos, totalizando assim 21 + 27 = 48 marcas. Como todos os triângulos foram marcados e só existem 36 deles, concluímos que o número de triângulos marcados com duas letras é igual a 48 - 36 = 12. Este número corresponde a \frac{12}{36} = \frac{1}{3} dos triângulos. [Figura: triângulo grande composto por 36 triângulos equiláteros menores contendo as letras C, D ou ambas as letras C e D em regiões sombreadas]

2^a solução: A figura é composta de 36 triângulos iguais. Chico Bento escreveu C em \frac{7}{12} \times 36 = 21 triângulos e Doralina escreveu D em \frac{3}{4} \times 36 = 27 triângulos. Chico Bento deixou 36 - 21 = 15 triângulos em branco. Doralina, ao marcar seus 27 triângulos, preencheu estes 15 e mais 27 - 15 = 12 triângulos, que ficaram então com duas marcas.

3^a solução: Chico Bento e Doralina marcaram juntos \frac{7}{12} + \frac{3}{4} = \frac{7+9}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} dos triângulos. Como \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}, segue que o número de triângulos marcados duas vezes é \frac{1}{3} do total, ou seja, é igual a \frac{1}{3} \times 36 = 12 triângulos.

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Resolução comentada

a)

A figura tem 12 triângulos iguais. Para marcar \frac{3}{4} deles, podemos dividir esses triângulos em quatro grupos com a mesma quantidade e escolher três desses grupos.

Cada grupo terá 12\div 4=3 triângulos. Assim, a quantidade que devemos marcar é:

\frac{3}{4}\times 12=3\times 3=9.

Podemos escolher quaisquer nove triângulos da figura: a posição deles não altera a fração marcada, pois todos têm o mesmo tamanho.

Devemos marcar 9 triângulos.

b)

Contando os triângulos pequenos que formam a figura, encontramos 24. Queremos marcar uma quantidade maior que um quarto desse total e menor que um terço dele.

Calculando os dois limites, temos:

\frac{1}{4}\times 24=6 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{3}\times 24=8.

Portanto, a quantidade marcada deve ser maior que 6 e menor que 8. Como só podemos marcar uma quantidade inteira de triângulos, a única possibilidade é 7. Podemos escolher quaisquer sete triângulos da figura.

Devemos marcar 7 triângulos.

c)

A figura tem 36 triângulos pequenos. Chico Bento marcou com C:

\frac{7}{12}\times 36=21\text{ triângulos}.

Doralina marcou com D:

\frac{3}{4}\times 36=27\text{ triângulos}.

Somando, obtemos 21+27=48 marcações. Nessa soma, cada triângulo com duas letras foi contado duas vezes, enquanto os demais foram contados apenas uma vez.

Como todos os 36 triângulos ficaram marcados, o excesso de 48-36=12 corresponde exatamente à quantidade de triângulos com duas letras. A fração pedida é, portanto:

\frac{12}{36}=\frac{1}{3}.

Os triângulos com duas letras correspondem a \frac{1}{3} do total.

Assuntos: Frações, decimais e operações básicas, Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2ª fase 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗