Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Resolução comentada

a) O resumo 523 diz que o número tem 5 algarismos, dos quais 2 são ímpares e 3 são pares. Basta escolher dois algarismos ímpares e três pares, por exemplo:

Conferindo: tem 5 algarismos, 2 ímpares (1 e 1) e 3 pares (2, 2 e 2). O resumo é 523. Qualquer outro número com essa composição também serve.

Resposta: 11222 (entre outros).

b) O resumo sempre tem 3 algarismos (total, ímpares, pares). Então o número procurado tem 3 algarismos e o primeiro é 3. Ele tem a forma 3bc, com b+c=3.

Como o algarismo 3 é ímpar, b\ge 1. As possibilidades são 312, 321 e 330 (o caso b=0 não serve).

1. 312: tem 2 ímpares (3 e 1), mas b=1. Não serve.
2. 321: tem 2 ímpares (3 e 1) e 1 par (2). O resumo é 321. Serve.
3. 330: tem 2 ímpares, mas b=3. Não serve.

Resposta: 321.

c) Seja N um número com n algarismos (1\le n\le 9), dos quais o são ímpares e e são pares. Seu resumo é R_1=\overline{n\,o\,e}, que sempre tem 3 algarismos.

O resumo de R_1 tem primeiro algarismo 3. Ele é da forma R_2=\overline{3\,x\,y}, com x+y=3, pois x e y contam os ímpares e os pares dos 3 algarismos de R_1.

Como x+y=3 é ímpar, um dos números x e y é ímpar e o outro é par.

Agora calculamos o resumo de R_2=\overline{3\,x\,y}:

• tem 3 algarismos;
• os ímpares são o 3 e um dos dois algarismos x ou y, ou seja, 2 ímpares;
• o par é o outro algarismo, ou seja, 1 par.

Portanto o resumo de R_2 é 321, qualquer que seja N. Isso é coerente com o item (b): 321 é o número igual ao próprio resumo, então o procedimento "trava" nele.

Resposta: o resultado é sempre 321.

Assunto: Sistemas de numeração.

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