A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha.
Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A.
(a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros?
(b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos?
(c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros.
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Resolução comentada
Leitura da figura. A flecha indica o sentido D \to A \to B \to C \to D. Os trechos são AB=1, BC=2, CD=6 e DA=4. A volta completa tem 1+2+6+4=13 km. Isso confere com o exemplo: de D a A são 4 km, mais uma volta de 13 km, dá 17 km.
a) Como 14 = 13 + 1, a corrida é uma volta completa mais 1 km. O único trecho de 1 km é de A a B. Então a corrida de 14 km sai de A e chega em B, dando uma volta e mais o trecho AB.
Resposta: partida em A e chegada em B.
b) Dividindo, 100 = 7\times 13 + 9. São 7 voltas completas e mais 9 km. Medindo a partir de A no sentido da corrida, as distâncias são: até B, 1; até C, 1+2=3; até D, 3+6=9. Logo A \to D mede 9 km. Partindo dos outros postos, os percursos têm 2, 8, 12 (de B), 6, 10, 11 (de C) e 4, 5, 7 (de D), nenhum igual a 9. Então só serve A \to D.
Resposta: partida em A e chegada em D.
c) Listamos as distâncias de um posto a outro, sem passar da volta completa:
1: A\to B
2: B\to C
3: A\to C
4: D\to A
5: D\to B
6: C\to D
7: D\to C
8: B\to D
9: A\to D
10: C\to A
11: C\to B
12: B\to A
Assim, todos os valores de 1 a 12 aparecem. Além disso, a volta completa, de qualquer posto até ele mesmo, tem 13 km.
Qualquer inteiro positivo n pode ser escrito como n = 13q + r, com 0\le r\le 12. Se r\neq 0, fazemos o percurso de r km da lista e damos q voltas completas. Se r=0, damos q voltas completas partindo de um posto qualquer. Portanto toda extensão inteira de quilômetros é possível.
Resposta: todo inteiro n=13q+r é obtido, pois todos os restos 0 a 12 são realizáveis.
