PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006
A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha.
Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A.
(a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros?
(b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos?
(c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Resolução comentada
Pelo sentido da flecha, a ordem dos postos é D\to A\to B\to C\to D. As distâncias são DA=4, AB=1, BC=2 e CD=6. O exemplo do enunciado confirma essa leitura: de D a A são 4 km, mais uma volta completa, 13+4=17 km. Uma volta completa mede 4+1+2+6=13 km.
Uma corrida de n km é uma sequência de voltas completas mais um trecho entre dois postos. Por isso, o que importa é o resto de n na divisão por 13.
Distâncias entre dois postos, sempre seguindo o sentido da pista:
- partindo de A: B=1, C=3, D=9;
- partindo de B: C=2, D=8, A=12;
- partindo de C: D=6, A=10, B=11;
- partindo de D: A=4, B=5, C=7.
a) Temos 14=13+1, ou seja, uma volta completa mais 1 km. O único trecho de 1 km é de A até B. Logo, a corrida parte de A e termina em B.
Resposta: partida em A e chegada em B.
b) Temos 100=7\cdot 13+9, ou seja, 7 voltas completas mais 9 km. Na lista acima, o único trecho de 9 km é de A até D, pois 1+2+6=9. Logo, a corrida parte de A e termina em D.
Resposta: partida em A e chegada em D.
c) Seja n um inteiro positivo. Dividindo por 13, escrevemos n=13q+r, com 0\le r\le 12. Basta mostrar que cada resto r aparece como distância entre dois postos, ou seja, como trecho percorrido no sentido da pista:
- r=1: A\to B
- r=2: B\to C
- r=3: A\to C
- r=4: D\to A
- r=5: D\to B
- r=6: C\to D
- r=7: D\to C
- r=8: B\to D
- r=9: A\to D
- r=10: C\to A
- r=11: C\to B
- r=12: B\to A
- r=0: só as q voltas completas, partindo e chegando no mesmo posto.
Assim, para qualquer n, fazemos q voltas completas e depois o trecho de r km, partindo do posto correspondente. A corrida tem exatamente n km.
Resposta: todo inteiro n=13q+r é obtido com q voltas mais um trecho de r km, e os 13 restos possíveis (0 a 12) são realizáveis.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
Reportar erro na resolução
Esta questão também caiu em
Ver como caiu na prova
Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗