Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Diadorim, Mimita e Riobaldo dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de Diadorim, um terço do copo de Mimita e um quarto do copo de Riobaldo.

Três jovens atrás de um balcão com garrafas de suco rotuladas "SUCO BRASIL" e três copos transparentes com canudos preenchidos com diferentes níveis de líquido.

(a) Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir?

(b) Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Diadorim, Mimita e Riobaldo dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de Diadorim, um terço do copo de Mimita e um quarto do copo de Riobaldo.

Três jovens atrás de um balcão com garrafas de suco rotuladas "SUCO BRASIL" e três copos transparentes com canudos preenchidos com diferentes níveis de líquido.

(a) Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir?

(b) Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) 1^a solução: Como os três copos são iguais, o conteúdo de uma garrafa equivale a meio copo mais um terço do copo mais um quarto do copo , ou seja

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6+4+3}{12}=\frac{13}{12}=1+\frac{1}{12}\text{ de um copo}

Temos então que

1\text{ garrafa equivale a }1+\frac{1}{12}\text{ de um copo }(=1\text{ copo}+\frac{1}{12}\text{ de um copo})

2\text{ garrafas equivalem a }2\times\left(1+\frac{1}{12}\right)=2+\frac{2}{12}=2+\frac{1}{6}\text{ de um copo }(=2\text{ copos}+\frac{1}{6}\text{ de um copo})

3\text{ garrafas equivalem a }3\times\left(1+\frac{1}{12}\right)=3+\frac{3}{12}=3+\frac{1}{4}\text{ de um copo }(=3\text{ copos}+\frac{1}{4}\text{ de um copo})

Logo, para encher os 3 copos são necessárias no mínimo 3 garrafas (sobrando ainda \frac{1}{4} de um copo na terceira garrafa). Portanto os amigos terão que abrir 2 garrafas a mais.

2^a solução: Depois de concluir que o conteúdo de uma garrafa é igual a \frac{13}{12} de um copo, percebemos que falta encher \frac{1}{2} do primeiro copo, \frac{2}{3} do segundo copo e \frac{3}{4} do terceiro copo, ou seja, falta encher \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{23}{12} de um copo. Como uma garrafa corresponde a \frac{13}{12} de um copo, falta abrir \frac{23/12}{13/12}=\frac{23}{13}=1+\frac{10}{13}\text{ garrafas.} Logo será necessário abrir mais duas garrafas.

3^a solução: Abaixo estão representados os copos dos três amigos, divididos com marcas de \frac{1}{12} avos.

[Figura: Três retângulos verticais representando copos divididos em 12 partes por linhas tracejadas, identificados abaixo por Diadorim, Mimita e Riobaldo. O copo de Diadorim contém duas metades (6 partes cada): "1a garrafa 1/2" embaixo e "2a garrafa 1/2" em cima. O copo de Mimita está dividido em três partes iguais (4 partes cada): "1a garrafa 1/3", "2a garrafa 1/3" e "3a garrafa 1/3". O copo de Riobaldo está dividido em "1a garrafa 1/4" (3 partes), "2a garrafa 1/4" (3 partes) e "3a garrafa 2/4=1/2" (6 partes).]

O desenho mostra que três garrafas são suficientes para encher os copos, sobrando \frac{1}{4} de um copo dentro da terceira garrafa para quem ainda estiver com sede.

b) Vimos no item (a) que uma garrafa enche \frac{13}{12} de um copo. Logo, ao dividir o conteúdo de uma garrafa por três copos iguais, cada um dos amigos terá

\frac{13}{12}\div 3=\frac{13}{12}\times\frac{1}{3}=\frac{13}{36}\text{ do seu copo cheio de suco.}

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Primeiro descubra quanto cabe numa garrafa, tomando o copo como unidade. A garrafa tinha o suco que encheu \frac12, \frac13 e \frac14 de copo:

\frac12+\frac13+\frac14=\frac{6+4+3}{12}=\frac{13}{12}\ \text{de copo}.

Para encher os três copos são necessários 3=\frac{36}{12} de copo de suco no total.

Com 2 garrafas haveria \frac{26}{12}<\frac{36}{12}, o que não basta. Com 3 garrafas haveria \frac{39}{12}\ge\frac{36}{12}, o que basta, e sobra um pouco.

Logo, são necessárias 3 garrafas no total. Como uma já foi aberta, faltou abrir 3-1=2 garrafas.

Conferindo de outro modo: faltava encher \frac12+\frac23+\frac34=\frac{23}{12} de copo, e isso é mais que uma garrafa (\frac{13}{12}) e menos que duas (\frac{26}{12}). Portanto são 2 garrafas a mais.

Resposta: 2 garrafas.

b) O conteúdo da garrafa é \frac{13}{12} de copo. Dividido igualmente entre as três pessoas, cada uma recebe:

\frac{13}{12}\div 3=\frac{13}{36}\ \text{de copo}.

Resposta: \dfrac{13}{36} de cada copo.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗