A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha.
Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A.
(a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros?
(b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos?
(c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros.
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Resolução comentada
Pelos dados, o percurso é A\to B (1 km), B\to C (2 km), C\to D (6 km) e D\to A (4 km). Isso confere com o exemplo: D\to A dá 4 km, e mais uma volta completa de 13 km dá os 17 km. A volta completa mede 1+2+6+4=13 km.
Uma corrida de n km é feita de algumas voltas completas mais um trecho entre dois postos. Por isso, só importa o resto de n na divisão por 13.
Distâncias entre os postos, seguindo o sentido da corrida:
Trecho
Distância (km)
A\to B
1
B\to C
2
A\to C
1+2=3
D\to A
4
D\to B
4+1=5
C\to D
6
D\to C
4+1+2=7
B\to D
2+6=8
A\to D
1+2+6=9
C\to A
6+4=10
C\to B
6+4+1=11
B\to A
2+6+4=12
a) Temos 14=13+1. Então a corrida é uma volta completa mais um trecho de 1 km, e o único trecho de 1 km é A\to B. Partindo de A, dá-se uma volta e mais 1 km, chegando em B.
Partida em A e chegada em B.
b) Temos 100=7\cdot 13+9=91+9. São 7 voltas completas mais um trecho de 9 km, e o único trecho de 9 km é A\to D.
Partida em A e chegada em D.
c) Seja n um inteiro positivo. Dividindo por 13, escrevemos n=13q+r, com 0\le r\le 12.
A tabela mostra que cada resto r de 1 a 12 corresponde a um trecho entre dois postos. Para r=0, basta partir e chegar no mesmo posto.
Assim, a corrida é q voltas completas seguidas do trecho de r km (ou só as q voltas, se r=0). Ela tem exatamente 13q+r=n km.
Todo inteiro n de quilômetros pode ser percorrido: dão-se q voltas e mais o trecho de r km da tabela, onde n=13q+r.
