Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Uma folha retangular de 20 cm por 30 cm foi cortada ao longo das linhas tracejadas AC e BD em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na figura I.

Os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos.

Figura I: retângulo com linhas tracejadas perpendiculares AC e BD que se cruzam no centro formando ângulos retos. Figura II: quadrado formado pela junção dos quatro pedaços, deixando uma abertura retangular central.

(a) Qual é o comprimento do segmento AB?

(b) Qual é a área de um pedaço triangular? E de um pedaço de cinco lados?

(c) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na figura II. Qual é a área do buraco?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha retangular de 20 cm por 30 cm foi cortada ao longo das linhas tracejadas AC e BD em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na figura I.

Os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos.

Figura I: retângulo com linhas tracejadas perpendiculares AC e BD que se cruzam no centro formando ângulos retos. Figura II: quadrado formado pela junção dos quatro pedaços, deixando uma abertura retangular central.

(a) Qual é o comprimento do segmento AB?

(b) Qual é a área de um pedaço triangular? E de um pedaço de cinco lados?

(c) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na figura II. Qual é a área do buraco?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Vamos representar a folha original pelo retângulo PQRS, e vamos considerar o quadrilátero ABCD como na figura ao lado. A idéia é verificar que ABCD é um quadrado, e podemos fazer isso de várias maneiras. Uma delas é a seguinte: ABCD é um quadrilátero cujas diagonais

são iguais (porque AC = BD),
se cortam ao meio (porque se encontram no centro do retângulo) e
são perpendiculares.

Um quadrilátero com essas propriedades é necessariamente um quadrado. Como ABCD é um quadrado, segue que AB = BC = PQ = 20\text{ cm}.

[Figura: retângulo PQRS de dimensões 20 por 30 com o quadrilátero ABCD em seu interior, cujas diagonais perpendiculares se cruzam no centro M]

b) Seja M o centro do quadrado. A área de cada um dos triângulos AMB, BMC, CMD e DAM é igual a \frac{1}{4} da área do quadrado ABCD, que é 20 \times 20 = 400\text{ cm}^2; logo a área de um desses triângulos é \frac{400}{4} = 100\text{ cm}^2.

A folha original tem área igual a 20 \times 30 = 600\text{ cm}^2; se subtrairmos dessa área as áreas dos dois pedaços triangulares ABM e DMC, restará a área dos dois pedaços de cinco lados. Como os dois pedaços de cinco lados são iguais, eles têm a mesma área e assim a área de cada um deles é igual a

\frac{600 - 2 \times 100}{2} = \frac{600 - 200}{2} = \frac{400}{2} = 200\text{ cm}^2.

Podemos também calcular a área de um pedaço de cinco lados de outro modo. Cada um deles é formado por um dos quatro triângulos acima e por um retângulo de altura 20\text{ cm} e largura igual a \frac{30 - 20}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}. Como a área de cada triângulo é 100\text{ cm}^2 e a área do retângulo é 5 \times 20 = 100\text{ cm}^2, concluímos que a área de cada pedaço de cinco lados é 100 + 100 = 200\text{ cm}^2.

c) O quadrado formado pelos quatro pedaços e o buraco tem área igual a 8 vezes a área de cada pedaço triangular, conforme mostrado no desenho ao lado. Portanto, sua área é igual a 8 \times 100 = 800\text{ cm}^2. Como a soma das áreas das quatro peças é igual à área da folha original, ou seja, 600\text{ cm}^2, concluímos que a área do buraco é igual a 800 - 600 = 200\text{ cm}^2.

[Figura: montagem dos quatro pedaços formando uma moldura quadrada com abertura retangular no centro, com linhas pontilhadas dividindo a figura em 8 triângulos congruentes]

Há outras maneiras de calcular a área do buraco. Ele é um retângulo cuja altura é igual à altura da folha original, ou seja, 20\text{ cm}. Seu comprimento é a diferença entre o comprimento da folha original e o segmento AB, ou seja, 30 - 20 = 10\text{ cm}. Portanto, a área do buraco é 20 \times 10 = 200\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a) Coloque o retângulo com 0\le x\le 30 e 0\le y\le 20. O centro é O, a 10 cm do lado de cima. AC e BD são iguais, perpendiculares e se cortam em O, então OA=OB e o triângulo AOB é retângulo isósceles com ângulo reto em O.

Num triângulo retângulo isósceles, a altura relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. Aqui essa altura é a distância de O ao lado de cima, que é 10 cm. Logo:

AB=2\cdot 10=20\ \text{cm}

AB = 20 cm

b) O triângulo AOB tem base AB=20 e altura 10:

\text{área}=\frac{20\cdot 10}{2}=100\ \text{cm}^2

A folha tem 20\cdot 30=600\ \text{cm}^2. Os dois triângulos ocupam 200\ \text{cm}^2, e sobram 400\ \text{cm}^2 para os dois pentágonos, que são iguais. Cada pentágono tem 400/2=200\ \text{cm}^2.

Triângulo: 100 cm²; pentágono: 200 cm².

c) Os quatro pedaços somam 600\ \text{cm}^2.

O lado do quadrado é formado por um cateto do triângulo, de medida 10\sqrt2, mais um lado do pentágono (OA ou OD), também de 10\sqrt2. Então o lado do quadrado é 20\sqrt2, que é o comprimento de AC. A área do quadrado é:

(20\sqrt2)^2=800\ \text{cm}^2

A área do buraco é a do quadrado menos a dos pedaços:

800-600=200\ \text{cm}^2

Conferindo pelas medidas: o buraco tem altura igual ao lado de 20 cm do pentágono. A largura é a hipotenusa do triângulo (20 cm) menos os dois lados de 5 cm dos pentágonos, ou seja, 10 cm. Assim, 20\cdot 10=200\ \text{cm}^2.

Área do buraco = 200 cm²

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2006

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