Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Uma folha retangular de 20 cm por 30 cm foi cortada ao longo das linhas tracejadas AC e BD em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na figura I.

Os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos.

Figura I: retângulo com cortes diagonais tracejados AC e BD que se cruzam perpendicularmente no centro, separando dois triângulos e dois pentágonos. Figura II: os quatro pedaços cinzas dispostos formando um quadrado maior inclinado, com uma abertura retangular branca no meio.

(a) Qual é o comprimento do segmento AB?

(b) Qual é a área de um pedaço triangular? E de um pedaço de cinco lados?

(c) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na figura II. Qual é a área do buraco?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha retangular de 20 cm por 30 cm foi cortada ao longo das linhas tracejadas AC e BD em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na figura I.

Os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos.

Figura I: retângulo com cortes diagonais tracejados AC e BD que se cruzam perpendicularmente no centro, separando dois triângulos e dois pentágonos. Figura II: os quatro pedaços cinzas dispostos formando um quadrado maior inclinado, com uma abertura retangular branca no meio.

(a) Qual é o comprimento do segmento AB?

(b) Qual é a área de um pedaço triangular? E de um pedaço de cinco lados?

(c) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na figura II. Qual é a área do buraco?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) [Figura: Retângulo PQRS com dimensões 30 por 20, contendo um quadrilátero ABCD em seu interior cujas diagonais se cruzam perpendicularmente no ponto central M.]

Vamos representar a folha original pelo retângulo PQRS, e vamos considerar o quadrilátero ABCD como na figura ao lado. A idéia é verificar que ABCD é um quadrado, e podemos fazer isso de várias maneiras. Uma delas é a seguinte: ABCD é um quadrilátero cujas diagonais

são iguais (porque AC = BD),
se cortam ao meio (porque se encontram no centro do retângulo) e
são perpendiculares.

Um quadrilátero com essas propriedades é necessariamente um quadrado. Como ABCD é um quadrado, segue que AB = BC = PQ = 20\text{ cm}.

b) Seja M o centro do quadrado. A área de cada um dos triângulos AMB, BMC, CMD e DAM é igual a \frac{1}{4} da área do quadrado ABCD, que é 20 \times 20 = 400\text{ cm}^2; logo a área de um desses triângulos é \frac{400}{4} = 100\text{ cm}^2.

A folha original tem área igual a 20 \times 30 = 600\text{ cm}^2; se subtrairmos dessa área as áreas dos dois pedaços triangulares ABM e DMC, restará a área dos dois pedaços de cinco lados. Como os dois pedaços de cinco lados são iguais, eles têm a mesma área e assim a área de cada um deles é igual a

\frac{600 - 2 \times 100}{2} = \frac{600 - 200}{2} = \frac{400}{2} = 200\text{ cm}^2.

Podemos também calcular a área de um pedaço de cinco lados de outro modo. Cada um deles é formado por um dos quatro triângulos acima e por um retângulo de altura 20\text{ cm} e largura igual a \frac{30 - 20}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}. Como a área de cada triângulo é 100\text{ cm}^2 e a área do retângulo é 5 \times 20 = 100\text{ cm}^2, concluímos que a área de cada pedaço de cinco lados é 100 + 100 = 200\text{ cm}^2.

c) [Figura: Quadrado formado pela reorganização das quatro peças ao redor de um retângulo central que representa o buraco, dividido em 8 triângulos equivalentes.]

O quadrado formado pelos quatro pedaços e o buraco tem área igual a 8 vezes a área de cada pedaço triangular, conforme mostrado no desenho ao lado. Portanto, sua área é igual a 8 \times 100 = 800\text{ cm}^2. Como a soma das áreas das quatro peças é igual à área da folha original, ou seja, 600\text{ cm}^2, concluímos que a área do buraco é igual a 800 - 600 = 200\text{ cm}^2.

Há outras maneiras de calcular a área do buraco. Ele é um retângulo cuja altura é igual à altura da folha original, ou seja, 20\text{ cm}. Seu comprimento é a diferença entre o comprimento da folha original e o segmento AB, ou seja, 30 - 20 = 10\text{ cm}. Portanto, a área do buraco é 20 \times 10 = 200\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a) Como AC = BD e as diagonais se cruzam no centro O do retângulo, formando ângulo reto, temos OA = OB = OC = OD. Logo o triângulo AOB é retângulo e isósceles, com o ângulo reto em O e hipotenusa AB.

A altura de O até o lado AB vale metade da altura do retângulo, ou seja, 10\ \text{cm}. Num triângulo retângulo isósceles, a altura relativa à hipotenusa é metade da hipotenusa. Então AB = 2 \cdot 10 = 20.

AB = 20\ \text{cm}

b) O triângulo tem base AB = 20 e altura 10:

A_{\triangle} = \frac{20\cdot 10}{2} = 100\ \text{cm}^2.

A área do retângulo é 20\cdot 30 = 600\ \text{cm}^2. Retirados os dois triângulos, sobram 600 - 200 = 400\ \text{cm}^2, que se dividem igualmente entre os dois pentágonos:

A_{\text{pentágono}} = \frac{400}{2} = 200\ \text{cm}^2.

(Conferência: A fica a 5\ \text{cm} do canto, pois 30-20=10 dividido em dois. O pentágono é um retângulo 5\times 20 = 100 mais um triângulo de base 20 e altura 10, que dá 100. O total é 200.)

Triângulo: 100\ \text{cm}^2; pentágono: 200\ \text{cm}^2

c) Os quatro pedaços somam 600\ \text{cm}^2. Falta descobrir a área do quadrado da figura II.

Na figura II, uma diagonal vertical do quadrado é formada por: altura do triângulo de cima (10), lado vertical do buraco (o lado de 20 do pentágono) e altura do triângulo de baixo (10). Assim, a diagonal do quadrado mede 10+20+10 = 40\ \text{cm}.

A área do quadrado é metade do produto das diagonais:

A_{\text{quadrado}} = \frac{40\cdot 40}{2} = 800\ \text{cm}^2.

O buraco ocupa o que os pedaços não cobrem:

800 - 600 = 200\ \text{cm}^2.

Conferindo: o buraco tem 20\ \text{cm} de altura e largura 20 - 2\cdot 5 = 10\ \text{cm}. A área é 20\cdot 10 = 200.

Área do buraco: 200\ \text{cm}^2

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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