PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006
Um número A de dois algarismos é um supernúmero se é possível encontrar dois números B e C, ambos também de dois algarismos, tais que:
- A = B + C;
- soma dos algarismos de A = (soma dos algarismos de B) + (soma dos algarismos de C).
Por exemplo, 35 é um supernúmero. Duas maneiras diferentes de mostrar isto são 35 = 11 + 24 e 35 = 21 + 14, pois 3 + 5 = (1 + 1) + (2 + 4) e 3 + 5 = (2 + 1) + (1 + 4). A única maneira de mostrar que 21 é um supernúmero é 21 = 10 + 11.
(a) Mostre de duas maneiras diferentes que 22 é um supernúmero e de três maneiras diferentes que 25 é um supernúmero.
(b) De quantas maneiras diferentes é possível mostrar que 49 é um supernúmero?
(c) Quantos supernúmeros existem?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Ao somar dois números, cada "vai um" faz a soma dos algarismos do resultado cair 9 unidades. Para a soma dos algarismos de A ser igual à soma dos algarismos de B e C, não pode haver "vai um" na soma. Basta então somar unidade com unidade e dezena com dezena, sem passar de 9.
Para 22, as dezenas de B e C somam 2, então cada uma é 1. As unidades somam 2:
- 22 = 10 + 12, pois 2+2 = (1+0)+(1+2);
- 22 = 11 + 11, pois 2+2 = (1+1)+(1+1).
Para 25, as dezenas somam 2 (cada uma é 1) e as unidades somam 5:
- 25 = 10 + 15;
- 25 = 11 + 14;
- 25 = 12 + 13.
Em todos, 2+5 = 7 é a soma dos algarismos das parcelas.
Resposta: 22 = 10+12 = 11+11 e 25 = 10+15 = 11+14 = 12+13.
b) Em 49, as dezenas de B e C somam 4. Como ambos têm dois algarismos, cada dezena é pelo menos 1, e há 3 possibilidades: (1,3), (2,2) e (3,1).
As unidades somam 9, e há 10 possibilidades: (0,9),(1,8),\dots,(9,0). Nenhuma passa de 9, então não há "vai um".
Isso dá 3\times 10 = 30 pares ordenados (B,C). Como B+C e C+B são a mesma maneira (no exemplo do 35, 11+24 e 24+11 não contam como duas), dividimos por 2. Os pares não se repetem em nenhum caso, porque B=C exigiria unidades iguais somando 9, o que é impossível.
Resposta: 15 maneiras.
c) Seja A = 10a + b, com a de 1 a 9 e b de 0 a 9.
As dezenas de B e C devem somar a, e cada uma é no mínimo 1. Logo a \ge 2. Se a=1, não existe solução.
Se a \ge 2, basta tomar dezenas 1 e a-1. As unidades somam b com B e C tendo unidades 0 e b, sem "vai um". Isso funciona para qualquer b de 0 a 9.
Os supernúmeros são, portanto, todos os números de 20 a 99:
Resposta: 80 supernúmeros.
Assunto: Sistemas de numeração.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗