Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Na figura, os triângulos ABC e DEF são equiláteros de lados 14 cm e 13 cm, respectivamente, e os lados BC e EF são paralelos.

Dois triângulos equiláteros sobrepostos, ABC com vértice A apontando para cima e DEF com vértice D apontando para baixo, cujos lados BC e EF são horizontais e paralelos. A região de intersecção é um hexágono sombreado de vértices P, Q, R, S, T e U, onde P e U estão no segmento EF, Q no segmento AB, R e S no segmento BC, e T no segmento AC.

(a) Calcule a medida do ângulo E\widehat{U}T.

(b) Calcule o perímetro do polígono PQRSTU.

(c) Se o segmento PQ mede 6 cm, qual é a medida do segmento ST?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura, os triângulos ABC e DEF são equiláteros de lados 14 cm e 13 cm, respectivamente, e os lados BC e EF são paralelos.

Dois triângulos equiláteros sobrepostos, ABC com vértice A apontando para cima e DEF com vértice D apontando para baixo, cujos lados BC e EF são horizontais e paralelos. A região de intersecção é um hexágono sombreado de vértices P, Q, R, S, T e U, onde P e U estão no segmento EF, Q no segmento AB, R e S no segmento BC, e T no segmento AC.

(a) Calcule a medida do ângulo E\widehat{U}T.

(b) Calcule o perímetro do polígono PQRSTU.

(c) Se o segmento PQ mede 6 cm, qual é a medida do segmento ST?

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como o triângulo ABC é eqüilátero, todos seus ângulos internos medem 60^\circ. Como BC e EF são paralelos e cortados pela tranversal AC, os ângulos E\widehat{U}T e A\widehat{C}B são alternos internos, donde E\widehat{U}T = A\widehat{C}B = 60^\circ.

[Figura: Triângulos ABC e DEF sobrepostos formando uma estrela de seis pontas. O segmento de reta AC está em destaque, cortando EF no ponto U e DE no ponto T, com indicação de que o ângulo em C mede 60^\circ e o ângulo alterno interno E\widehat{U}T está indicado.]

b) Como DEF é um triângulo eqüilátero, temos que U\widehat{E}T = 60^\circ, e do item (a) sabemos que E\widehat{U}T = 60^\circ. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ segue que U\widehat{T}E = 180^\circ - 2 \times 60^\circ = 60^\circ. Logo, o triângulo EUT é eqüilátero, porque todos os seus ângulos internos medem 60^\circ. Da mesma forma, podemos concluir que todos os outros triângulos da figura são eqüiláteros. Desse modo, temos QP = FP, UT = UE, TS = CS e RQ = RB. Segue que o perímetro de PQRSTU é

QP + PU + UT + TS + SR + RQ = (FP + PU + UE) + (CS + SR + RB)

= FE + CB = 13 + 14 = 27\text{ cm}

[Figura: Estrela de seis pontas com o hexágono central PQRSTU destacado em linha mais grossa, além dos vértices dos triângulos A, B, C e D, E, F.]

c) De PQ = 6\text{ cm} segue que FP = 6\text{ cm}, pois o triângulo QFP é eqüilátero, e concluímos que PE = FE - FP = 13 - 6 = 7\text{ cm}. Como BC é paralelo a EF e AB é paralelo a DE, o quadrilátero PESB é um paralelogramo, donde BS = PE = 7\text{ cm}. Finalmente, temos SC = BC - BS = 14 - 7 = 7\text{ cm}; logo ST = SC = 7\text{ cm}, pois o triângulo TCS é equilátero.

[Figura: Estrela de seis pontas com os segmentos QP e ST destacados, indicando as medidas FP = 6, PE = 7, BS = 7 e SC = 7.]

Uma solução análoga pode ser dada a partir do paralelogramo QDTA.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Como PU é parte de EF, que é paralelo a BC, o triângulo APU tem os mesmos ângulos de ABC. Logo ele é equilátero e A\widehat{U}P=60^\circ.

Os ângulos A\widehat{U}P e E\widehat{U}T são opostos pelo vértice, então E\widehat{U}T=60^\circ.

60^\circ

b) Pelo mesmo argumento do item (a), os seis triângulos pequenos (APU, FPQ, BQR, DRS, CST, EUT) são equiláteros. O lado de cada um é um lado do hexágono: FPQ tem lado PQ, BQR tem lado QR, DRS tem lado RS, CST tem lado ST, EUT tem lado TU e APU tem lado UP.

No lado AB temos AP=PU e QB=QR. Então:

AB=AP+PQ+QB=PU+PQ+QR=14.

No lado DE temos DS=RS e TE=TU. Então:

DE=DS+ST+TE=RS+ST+TU=13.

Somando as duas igualdades, aparecem exatamente os seis lados do hexágono:

PQ+QR+RS+ST+TU+UP=14+13=27.

Perímetro =27 cm

c) Pelo item (b), em EF temos:

EF=FP+PU+UE=PQ+PU+TU=13.

Com PQ=6, resulta PU+TU=7.

No lado AC temos AU=PU e TC=ST. Então:

AC=AU+UT+TC=PU+TU+ST=14.

Substituindo PU+TU=7, obtemos ST=14-7=7.

ST=7 cm

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Semelhança e Teorema de Tales.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗