Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Na tabela, o Capitão Rodrigo escreveu a letra Q embaixo de todos os números que são quadrados perfeitos e a letra N embaixo de todos os outros.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	\dots	2004	2005	2006
Q	N	N	Q	N	N	N	N	Q	N	N	N	N	N	N	Q	N	\dots	N	N	N

(a) Quantas vezes o Capitão Rodrigo escreveu a letra Q?

(b) Que número está acima do milésimo N a partir da esquerda?

(c) O Capitão Rodrigo percebeu que em uma parte da tabela aparece a seqüência Q\overbrace{NNNN \dots NNNN}^{100\text{ letras } N}Q ou seja, uma letra Q seguida de 100 letras N seguidas de outra letra Q. Que número está acima do primeiro Q dessa seqüência?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Na tabela, o Capitão Rodrigo escreveu a letra Q embaixo de todos os números que são quadrados perfeitos e a letra N embaixo de todos os outros.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	\dots	2004	2005	2006
Q	N	N	Q	N	N	N	N	Q	N	N	N	N	N	N	Q	N	\dots	N	N	N

(a) Quantas vezes o Capitão Rodrigo escreveu a letra Q?

(b) Que número está acima do milésimo N a partir da esquerda?

(c) O Capitão Rodrigo percebeu que em uma parte da tabela aparece a seqüência Q\overbrace{NNNN \dots NNNN}^{100\text{ letras } N}Q ou seja, uma letra Q seguida de 100 letras N seguidas de outra letra Q. Que número está acima do primeiro Q dessa seqüência?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) O Capitão Rodrigo escreveu a letra Q em baixo dos quadrados perfeitos 1^2, 2^2, 3^2, \text{...}. Como 2006 está entre 44^2 e 45^2, isto é,

44^2 = 1936 < 2006 < 2025 = 45^2,

vemos que 1936 é o maior quadrado perfeito que é menor do que 2006.

1^2 \downarrow			2^2 \downarrow		44^2 \downarrow
1	2	3	4	......	1936	1937	1938	......	2006
Q	N	N	Q	......	Q	N	N	......	N
						só letras N

Logo última letra Q foi escrita embaixo do número 1936, ou seja, o Capitão Rodrigo escreveu a letra Q um total de 44 vezes.

b) O número 1000 está entre 31^2 = 961 e 32^2 = 1024, logo, até 1024^{\text{a}} posição foram escritas 32 letras Q e 1024 - 32 = 992 letras N.

			31^2 \downarrow				32^2 \downarrow					33^2 \downarrow
1	2	......	961	......	1000	......	1024	1025	......	1032	......	1089
Q	N	......	Q	......	N	......	Q	N	......	N	......	Q
				só letras N				só letras N

Por isso, a 1000^{\text{a}} letra N aparece depois da 1024^{\text{a}} posição. Para chegar a 1000 letras N faltam 8, que começam na 1025^{\text{a}} posição e acabam na 1032^{\text{a}} posição; notamos que nessas posições não aparece nenhuma letra Q, pois o próximo quadrado perfeito é 33^2 = 1089. Logo o 1000^{\text{o}} N foi escrito na 1032^{\text{a}} posição.

\underbrace{\overset{1}{Q} NN \overset{4}{Q} NNNN \overset{9}{Q} N \dots\dots N \overset{1024}{Q}}_{1024\text{ letras } = 992\text{ letras } N + 32\text{letras } Q} \underbrace{\overset{1025}{N} NNNNNN \overset{1032}{N}}_{8\text{ letras } N} \dots

c) 1ª solução: Para que ocorra uma seqüência da forma Q \overbrace{NNN\dots NNN}^{100\text{ letras } N} Q, o primeiro e o último Q correspondem a quadrados consecutivos, com 100 números não quadrados entre eles. Se o primeiro Q corresponde a a^2, temos

\overset{a^2}{\underset{\downarrow}{Q}} \overbrace{NNN\dots NNN}^{100\text{ letras } N} \overset{(a+1)^2}{\underset{\downarrow}{Q}} \qquad \text{e} \qquad \underbrace{[(a+1)^2 - a^2] - 1}_{\substack{\text{número de letras } N \\ \text{entre} \\ \text{as duas letras } Q}} = 100.

Logo [(a+1)^2 - a^2] - 1 = 100, donde

(a^2 + 2a + 1 - a^2) - 1 = 2a + 1 = 100

ou seja, 2a = 100 e portanto a = 50. Assim , a seqüência é

\overset{50^2}{\underset{\downarrow}{Q}} \overbrace{NNN\dots NNN}^{100\text{ letras } N} \overset{51^2}{\underset{\downarrow}{Q}}.

Como 50^2 = 2500 é maior do que 2006, essa seqüência não ocorre na tabela dada.

Observação: A resposta 2500 também foi considerada correta para efeito de correção.

2ª solução: Os blocos de letras N entre quadrados perfeitos crescem de 2 em 2, como podemos ver abaixo:

\overset{1}{Q} \underbrace{NN}_{2\text{ letras } N} \overset{4}{Q} \underbrace{NNNN}_{4\text{ letras } N} \overset{9}{Q} \underbrace{NNNNNN}_{6\text{ letras } N} \overset{16}{Q} \underbrace{NNNNNNNN}_{8\text{ letras } N} \overset{25}{Q} \underbrace{NNNNNNNNNN}_{10\text{ letras } N} \overset{36}{Q} \dots \overset{a^2}{Q} \underbrace{NNN\dots NNN}_{2n\text{ letras } N} \overset{(a+1)^2}{Q} \underbrace{NNN\dots NNN}_{(2n+2)\text{ letras } N} \overset{(a+2)^2}{Q} \dots

Os dois últimos quadrados perfeitos na tabela são 43^2 = 1849 e 44^2 = 1936, entre os quais há 86 letras N. Por outro lado, de 1937 a 2006 há 70 letras N:

\overset{1}{Q} NN \overset{4}{Q} \dots\dots \overset{1849}{Q} \underbrace{N\dots N}_{86\text{ letras } N} \overset{1936}{Q} \underbrace{\overset{1937}{N} \dots\dots \overset{2006}{N}}_{70\text{ letras } N}

Como os blocos de letras N entre quadrados perfeitos são de tamanho crescente, segue que em nenhum lugar da tabela aparecem 100 letras N seguidas

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Resolução comentada

a) Os quadrados perfeitos de 1 a 2006 são 1^2, 2^2, \dots até o maior n^2\le 2006. Como 44^2=1936 e 45^2=2025>2006, vão de 1^2 até 44^2. Logo o Capitão escreveu a letra Q 44 vezes.

b) O milésimo N está sob o número n que não é quadrado perfeito e que tem exatamente 1000 não quadrados entre 1 e n. Ou seja, n menos a quantidade de quadrados até n deve dar 1000.

Testando n=1032: o maior quadrado até 1032 é 32^2=1024, então há 32 quadrados. Assim 1032-32=1000 não quadrados até 1032. Como 1032 não é quadrado (fica entre 1024 e 33^2=1089), ele próprio é o milésimo N.

O número acima do milésimo N é 1032.

c) Entre dois quadrados consecutivos k^2 e (k+1)^2 há

(k+1)^2-k^2-1=2k

números que não são quadrados, ou seja, 2k letras N seguidas. Queremos 2k=100, logo k=50.

Conferindo: 50^2=2500 e 51^2=2601, e 2601-2500-1=100 letras N.

O primeiro Q da sequência está sob o número 2500.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗