Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Ilustração de um casal sentado à mesa de um restaurante, com uma lousa ao fundo com os dizeres: "Restaurante / Até 600 g.....R$ 1,50 (100g) / Acima de 600 g.....R$ 1,00 (100g)"

Raimundo e Macabéa foram a um restaurante que cobra R$ 1,50 por cada 100 gramas de comida para aqueles que comem até 600 gramas e R$ 1,00 por cada 100 gramas para aqueles que comem mais de 600 gramas.

(a) Quanto paga quem come 350 gramas? E quem come 720 gramas?

(b) Raimundo consumiu 250 gramas mais que Macabéa, mas ambos pagaram a mesma quantia. Quanto cada um deles pagou?

(c) Desenhe o gráfico que representa o valor a ser pago em função do peso da comida. Marque nesse gráfico os pontos que representam a situação do item (b).

Gráfico em malha quadriculada com o eixo vertical representando o "valor pago (R$)", numerado de 1 a 10, e o eixo horizontal representando o "peso da comida (g)", numerado de 100 a 1000 de 100 em 100

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Função afim

Ilustração de um casal sentado à mesa de um restaurante, com uma lousa ao fundo com os dizeres: "Restaurante / Até 600 g.....R$ 1,50 (100g) / Acima de 600 g.....R$ 1,00 (100g)"

Raimundo e Macabéa foram a um restaurante que cobra R$ 1,50 por cada 100 gramas de comida para aqueles que comem até 600 gramas e R$ 1,00 por cada 100 gramas para aqueles que comem mais de 600 gramas.

(a) Quanto paga quem come 350 gramas? E quem come 720 gramas?

(b) Raimundo consumiu 250 gramas mais que Macabéa, mas ambos pagaram a mesma quantia. Quanto cada um deles pagou?

(c) Desenhe o gráfico que representa o valor a ser pago em função do peso da comida. Marque nesse gráfico os pontos que representam a situação do item (b).

Gráfico em malha quadriculada com o eixo vertical representando o "valor pago (R$)", numerado de 1 a 10, e o eixo horizontal representando o "peso da comida (g)", numerado de 100 a 1000 de 100 em 100

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como 350\text{ gramas} = 3{,}5 \times 100\text{ gramas} e 350 < 600, quem come 350\text{ gramas} paga 3{,}5 \times 1{,}50 = 5{,}25\text{ reais} = 5\text{ reais e } 25\text{ centavos}. Por outro lado, temos 720\text{ gramas} = 7{,}2 \times 100\text{ gramas}. Como 720 > 600, segue que quem come 720\text{ gramas} paga 7{,}2 \times 1{,}00 = 7{,}20\text{ reais} = 7\text{ reais e } 20\text{ centavos}.

b) Como Raimundo comeu 250\text{ gramas} a mais que Macabéa e ambos pagaram a mesma quantia, concluímos que Raimundo pagou menos por grama de comida do que Macabéa. Logo Raimundo comeu mais de 600\text{ gramas} e Macabéa comeu no máximo 600\text{ gramas}. Vamos chamar de r e m o peso, em gramas, da comida que Raimundo e Macabéa consumiram, respectivamente. Então Raimundo pagou

\frac{r}{100} \times 1{,}00 = 0{,}01r\text{ reais}

e Macabéa pagou

\frac{m}{100} \times 1{,}50 = 0{,}015m\text{ reais}.

Como ambos pagaram a mesma quantia temos 0{,}01r = 0{,}015m, e o enunciado nos diz que r = m + 250. Logo temos o sistema

\begin{cases} 0{,}01r = 0{,}015m \\ r = m + 250. \end{cases}

donde tiramos

0{,}015m = 0{,}01 \times (m + 250) = 0{,}01m + 2{,}5,

e segue que 0{,}005m = 2{,}5, ou seja, m = 500\text{ gramas}. Segue que r = m + 250 = 750\text{ gramas}.

Para saber quanto eles pagaram, basta calcular, por exemplo, quanto Macabéa pagou: ela comeu 500\text{ gramas}, logo pagou 500 \times 1{,}50 = 7{,}50\text{ reais}, tendo Raimundo pago a mesma quantia.

c) Chamando de p(x) o preço pago por quem come x gramas de comida, temos

p(x) = \begin{cases} 0{,}15x\text{ se } x \le 600 \\ 0{,}01x\text{ se } x > 600 \end{cases}

Logo, o gráfico é formado por duas semi-retas, uma passando pelos pontos (0,\, 0) e (600,\, 9) e a outra pelos pontos (600,\, 6) e (1000,\, 10), não incluindo o ponto (600,\, 6). Macabéa comeu x = 500\text{ gramas} e pagou 7{,}50\text{ reais}, o que está representado no gráfico pelo ponto (500,\, 7{,}50). Raimundo comeu 750\text{ gramas} e pagou o mesmo que Macabéa, o que está representado pelo ponto (750,\, 7{,}50).

[Figura: Gráfico cartesiano em malha quadriculada tracejada. O eixo vertical indica os valores em "reais" com marcas em 1,00, 6,00, 7,50, 9,00 e 10,00; o eixo horizontal indica o peso em "gramas" com marcas em 0, 100, 500, 600, 750 e 1000. O gráfico é formado por uma reta ligando a origem (0, 0) ao ponto (600, 9,00), com ponto fechado em (600, 9,00), e outra semi-reta iniciando com ponto aberto em (600, 6,00) e passando por (1000, 10,00). Os pontos (500, 7,50) e (750, 7,50) estão marcados sobre a mesma linha horizontal tracejada no valor 7,50.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O preço é proporcional ao peso, mas a faixa de preço depende de o cliente comer até 600 g ou mais.

Para 350 g (até 600 g), são 3{,}5 porções de 100 g a R$ 1,50:

3{,}5\times 1{,}50 = 5{,}25

Para 720 g (acima de 600 g), são 7{,}2 porções de 100 g a R$ 1,00:

7{,}2\times 1{,}00 = 7{,}20

Quem come 350 g paga R$ 5,25 e quem come 720 g paga R$ 7,20.

b) Se os dois estivessem na mesma faixa de preço, quem comeu mais pagaria mais. Como pagaram o mesmo, Macabéa (que comeu menos) está na faixa mais cara, até 600 g, e Raimundo na faixa mais barata, acima de 600 g.

Seja p o peso de Macabéa em gramas. Então Raimundo comeu p+250 g. Igualando os valores pagos:

1{,}5\cdot\frac{p}{100}=1{,}0\cdot\frac{p+250}{100}

1{,}5p = p+250
0{,}5p=250
p=500

Macabéa comeu 500 g (até 600 g, coerente) e Raimundo 750 g (acima de 600 g, coerente).

Valor pago: 5\times 1{,}50 = 7{,}50 e 7{,}5\times 1{,}00=7{,}50.

Cada um pagou R$ 7,50 (Macabéa comeu 500 g e Raimundo 750 g).

c) O gráfico tem dois trechos de reta.

De 0 a 600 g: o valor é 1{,}5 por 100 g. O segmento vai de (0,0) a (600;\,9), passando por (100;\,1{,}5), (200;\,3), (300;\,4{,}5) etc. O ponto (600;\,9) pertence ao gráfico (bolinha cheia).
Acima de 600 g: o valor é 1 por 100 g. O segmento vai de (600;\,6) até (1000;\,10), passando por (700;\,7), (800;\,8), (900;\,9). O ponto (600;\,6) fica fora do gráfico (bolinha aberta), pois 600 g custa R$ 9,00.

Há um "salto" para baixo em 600 g, de R$ 9,00 para pouco mais de R$ 6,00.

Os pontos do item (b) são (500;\,7{,}5), no primeiro segmento, e (750;\,7{,}5), no segundo. Eles estão na mesma altura, 7,5, no eixo do valor pago.

Gráfico: segmento de (0,0) a (600;9) e segmento de (600;6) (aberto) a (1000;10), com os pontos (500;7{,}5) e (750;7{,}5) marcados.

Assunto: Função afim.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗