Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Na figura, os triângulos ABC e BDE são congruentes e os ângulos B\hat{A}C e D\hat{B}E são retos.

Dois triângulos retângulos congruentes, ABC e BDE. O segmento horizontal AB contém o vértice reto A à esquerda e o vértice reto B à direita, com o ponto E sobre AB entre A e B. O cateto AC sobe verticalmente a partir de A, e o cateto BD sobe verticalmente a partir de B. A hipotenusa BC cruza o segmento DE no ponto F, delimitando a região sombreada correspondente ao triângulo EFB.

(a) Ache a razão entre a área do triângulo BDF e a área do quadrilátero AEFC.

(b) Determine a medida do ângulo B\hat{F}E.

(c) Sabendo que AB = 12 e AC = 5, calcule a área do triângulo EFB.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura, os triângulos ABC e BDE são congruentes e os ângulos B\hat{A}C e D\hat{B}E são retos.

Dois triângulos retângulos congruentes, ABC e BDE. O segmento horizontal AB contém o vértice reto A à esquerda e o vértice reto B à direita, com o ponto E sobre AB entre A e B. O cateto AC sobe verticalmente a partir de A, e o cateto BD sobe verticalmente a partir de B. A hipotenusa BC cruza o segmento DE no ponto F, delimitando a região sombreada correspondente ao triângulo EFB.

(a) Ache a razão entre a área do triângulo BDF e a área do quadrilátero AEFC.

(b) Determine a medida do ângulo B\hat{F}E.

(c) Sabendo que AB = 12 e AC = 5, calcule a área do triângulo EFB.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como os triângulos ABC e BDE são congruentes, temos

\text{área de } ABC = \text{área de } BDE\text{ ,}

donde

\begin{aligned} \text{área de } AEFC &= \text{área de } ABC - \text{área de } BFE \\ &= \text{área de } BDE - \text{área de } BFE\text{ .} \\ &= \text{área de } BDF\text{.} \end{aligned}

Logo \text{área de } AEFC = \text{área de } BDF e a razão pedida é

\frac{\text{área de } BDF}{\text{área de } AEFC} = 1\text{.}

[Figura: Triângulos retângulos congruentes ABC, com ângulo reto em A, e BDE, com ângulo reto em E, sobrepostos de modo que E pertence ao segmento AB. Os segmentos BC e DE se intersectam em F, e a região triangular BEF está sombreada.]

b) Como os triângulos ABC e BDE são congruentes, temos D\hat{E}B = B\hat{C}A, donde

D\hat{E}B + A\hat{B}C = B\hat{C}A + A\hat{B}C = 90^\circ\text{.}

donde

B\hat{F}E = 180^\circ - (D\hat{E}B + A\hat{B}C) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\text{.}

Outro modo de achar a medida de B\hat{F}E é observar que os triângulos ABC e BEF são semelhantes, pois têm dois ângulos iguais, a saber, o ângulo comum em B e os ângulos em C e E. Logo os ângulos em A e F são iguais, ou seja, o ângulo B\hat{F}E é reto.

c) Como os triângulos ABC e BDE são congruentes temos EB = AC = 5. Os triângulos ABC e FBE são semelhantes pois são retângulos e têm em comum o ângulo em B, logo \dfrac{EF}{AC} = \dfrac{BF}{AB}, ou seja \dfrac{EF}{5} = \dfrac{BF}{12}, donde EF = \dfrac{5\,BF}{12}. Como BEF é um triângulo retângulo, sua área é \dfrac{EF \cdot BF}{2}, e como EF = \dfrac{5\,BF}{12} essa área é \dfrac{5\,BF^2}{24}. Pelo Teorema de Pitágoras temos EB^2 = EF^2 + BF^2, donde 5^2 = \dfrac{25\,BF^2}{12^2} + BF^2, ou seja, BF^2 = \dfrac{3600}{169}. Logo a área de BEF é \dfrac{5\,BF^2}{24} = \dfrac{5}{24} \cdot \dfrac{3600}{169} = \dfrac{750}{169}\ \text{cm}^2.

Podemos também argüir como segue. Pelo Teorema de Pitágoras temos

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = 13^2\text{,}

donde BC = 13. Sejam \alpha = A\hat{B}C = B\hat{D}E. No triângulo ABC temos \sen \alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{5}{13} e \cos \alpha = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{12}{13}. No triângulo BEF, temos EF = EB \cdot \sen \alpha = 5 \cdot \dfrac{5}{13}\ \text{cm} e BF = EB \cdot \cos \alpha = 5 \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{60}{13}\ \text{cm}. Logo

\text{área } EFB = \frac{1}{2}\, EF \cdot FB = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{13} \cdot \frac{60}{13} = \frac{750}{169}\ \text{cm}^2\text{.}

[Figura: Mesma ilustração geométrica dos triângulos retângulos ABC e BDE se intersectando em F, com a região triangular BEF sombreada.]

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Resolução comentada

a) Os triângulos são congruentes, então \text{área}(ABC)=\text{área}(BDE). Os dois contêm o triângulo EFB:

\text{área}(ABC)=\text{área}(AEFC)+\text{área}(EFB),\qquad \text{área}(BDE)=\text{área}(BDF)+\text{área}(EFB).

Como as duas áreas são iguais, ao tirar \text{área}(EFB) de ambos os lados sobra \text{área}(BDF)=\text{área}(AEFC). A razão é 1.

b) Pela figura, a correspondência é A\to B, B\to D, C\to E, pois os ângulos retos estão em A e em B. Logo B\hat{D}E = A\hat{B}C=\beta.

Como D\hat{B}A=90^\circ e F está sobre BC, temos F\hat{B}D = 90^\circ-\beta.

No triângulo BDF, os ângulos em D e em B somam \beta+(90^\circ-\beta)=90^\circ. Assim B\hat{F}D=90^\circ.

Os pontos D, F, E estão alinhados, então B\hat{F}E é o suplemento de B\hat{F}D: B\hat{F}E=180^\circ-90^\circ=90^\circ.

A resposta é 90^\circ.

c) Em ABC, BC=\sqrt{12^2+5^2}=13.

Pela congruência, BD=AB=12 e BE=AC=5.

Pelo item (b), o triângulo EFB é retângulo em F e tem o ângulo \beta em B, o mesmo ângulo de ABC em B. Os dois são semelhantes, com a hipotenusa BE=5 correspondendo a BC=13. A razão de semelhança é \frac{5}{13}.

A área de ABC é \frac{12\cdot 5}{2}=30. Portanto:

\text{área}(EFB)=30\cdot\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{750}{169}.

Conferindo pelos catetos: EF=5\cdot\frac{5}{13}=\frac{25}{13} e BF=5\cdot\frac{12}{13}=\frac{60}{13}. Então \frac12\cdot\frac{25}{13}\cdot\frac{60}{13}=\frac{750}{169}.

A área é \dfrac{750}{169}.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2006

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