Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

A Princesa Telassim cortou uma folha de papel retangular em 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18 centímetros.

A) Qual era a área da folha antes de ser cortada?

B) Quais eram as medidas da folha antes de ser cortada?

C) A Princesa Telassim precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A Princesa Telassim cortou uma folha de papel retangular em 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18 centímetros.

A) Qual era a área da folha antes de ser cortada?

B) Quais eram as medidas da folha antes de ser cortada?

C) A Princesa Telassim precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A) A área da folha era igual a soma das áreas dos nove quadrados, que é

1^2 + 4^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 + 14^2 + 15^2 + 18^2 = 1056\ \text{cm}^2

B) Sejam a e b as dimensões da folha, onde supomos a \le b. Como a área de um retângulo é o produto de suas dimensões, temos ab = 1056. Além disso, como as medidas dos lados dos quadrados em que a folha foi cortada são números inteiros, segue que a e b devem ser números inteiros. Observamos, finalmente, que a e b devem ser maiores ou iguais a 18, pois um dos quadrados em que a folha foi cortada tem lado com esta medida.

Como a e b são divisores de 1056, a fatoração em fatores primos 1056 = 2^5 \times 3 \times 11 nos mostra que a e b são da forma 2^x \times 3^y \times 11^z, onde x, y e z são inteiros tais que 0 \le x \le 5, 0 \le y \le 1 e 0 \le z \le 1. Lembrando que ab = 1056 e que a e b são maiores que 18, obtemos os seguintes possibilidades:

a	b
2 \times 11 = 22	2^4 \times 3 = 48
2^3 \times 3 = 24	2^2 \times 11 = 44
2^5 = 32	3 \times 11 = 33

Temos agora que decidir quais destas possibiliidades podem ocorrer como medidas da folha. Como o maior quadrado tem lado 18, que é menor que 22, 24 e 32, vemos que nenhum quadrado pode encostar nos dois lados de comprimento b da folha. Isto quer dizer que b pode ser expresso de duas maneiras como uma soma na qual as parcelas são medidas dos lados dos quadrados, sendo que (i) não há parcelas repetidas em nenhuma das duas expressões e (ii) não há parcelas comuns às duas expressões.

Este argumento mostra que 2b \le 1 + 4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 14 + 15 + 18, ou seja, 2b \le 86. Logo b \le 43 e a única possibilidade é b = 33. Segue que as dimensões da folha eram a = 32 e b = 33.

Existem outras maneiras de eliminar os pares (22,48) e (24,44), usando o argumento acima e mostrando, por exemplo, que não existem duas maneiras de escrever 22 e 24 como soma dos lados dos quadrados de duas maneiras com parcelas distintas e sem parcelas comuns.

Esta solução depende do fato de que, em qualquer decomposição de um retângulo em quadrados, os lados dos quadrados são necessariamente paralelos a um dos lados do retângulo. Um argumento intuitivo para demonstrar este fato consiste em selecionar um vértice do retângulo e observar que o quadrado ao qual este vértice pertence tem seus lados apoiados sobre os lados do retângulo. Qualquer quadrado que toca este primeiro quadrado (mesmo que em apenas um vértice) tem seus lados necessariamente paralelos aos lados do retângulo, pois caso contrário teríamos ângulos diferentes de 90^\circ ou 180^\circ na decomposição, e estes ângulos não podem ser preenchidos com quadrados.

B) A única possibilidade (a menos de rotações e simetrias) é mostrada abaixo:

[Figura: retângulo dividido em 9 quadrados menores com lados identificados por seus comprimentos: no topo, lado a lado, quadrados de lados 14 e 18; abaixo do quadrado 14, um quadrado de lado 10 e, ao lado deste, um quadrado de lado 4 sobreposto a um de lado 7; na base inferior, um quadrado de lado 9 à esquerda, um pequeno quadrado de lado 1 no centro, um de lado 8 abaixo do 7, e à direita, abaixo do quadrado 18, um quadrado de lado 15]

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Resolução comentada

a) A área da folha é a soma das áreas dos 9 quadrados:

1^2+4^2+7^2+8^2+9^2+10^2+14^2+15^2+18^2

=1+16+49+64+81+100+196+225+324=1056.

A área era 1056\ \text{cm}^2.

b) Os lados do retângulo são dois números cujo produto é 1056=2^5\cdot 3\cdot 11. Cada lado precisa ser pelo menos 18, porque o quadrado de lado 18 cabe na folha. Os pares possíveis são 22\times 48, 24\times 44 e 32\times 33.

O par 32\times 33 é o que funciona. Note que 18+14=32 e 18+15=33. O desenho do item (c) mostra que os quadrados preenchem exatamente um retângulo 33\times 32. As outras duas possibilidades não permitem o encaixe.

A folha media 32\ \text{cm}\times 33\ \text{cm}.

c) Use largura 33 (horizontal) e altura 32 (vertical). Cada quadrado é dado por (canto inferior esquerdo; lado), com x para a direita e y para cima:

Fileira de baixo: 18 em (0,0) e 15 em (18,0), pois 18+15=33.
Sobre o 18: 14 em (0,18) e 4 em (14,18), pois 14+4=18.
Sobre o 15 (que termina em y=15): 7 em (18,15), que chega a y=22, e 8 em (25,15), que chega a y=23, pois 7+8=15.
10 em (14,22): apoia-se no 4 e no 7, ocupa de x=14 a 24 e chega a y=32.
1 em (24,22): fica entre o 10 e o 8, na altura entre 22 e 23.
9 em (24,23): apoia-se no 1 e no 8, ocupa de x=24 a 33 e chega a y=32.

Desenho (aproximado, de cima para baixo):

|   14    |    10     |    9    |
|         |-----------|---------|
|         | 4 |   7   |1|   8   |
|---------|---|-------|-|-------|
|         18          |   15    |

Os tamanhos do desenho não estão em escala, mas as posições estão corretas.

Conferência:

Topo: 14+10+9=33.
Lado esquerdo: 18+14=32.
Lado direito: 15+8+9=32.

Montagem: 18 e 15 embaixo; 14 e 4 sobre o 18; 7 e 8 sobre o 15; depois 10, 1 e 9 completando o topo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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