Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

Em uma festa o número de mulheres era quatro vezes o número de homens. Após a chegada de cinco casais, a porcentagem de homens na festa passou a ser 26\%.

A) Qual era o percentual de homens na festa antes da chegada dos cinco casais?

B) Quantos homens e quantas mulheres a festa passou a ter depois da chegada dos cinco casais?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 2 · Matemática: Porcentagem

Em uma festa o número de mulheres era quatro vezes o número de homens. Após a chegada de cinco casais, a porcentagem de homens na festa passou a ser 26\%.

A) Qual era o percentual de homens na festa antes da chegada dos cinco casais?

B) Quantos homens e quantas mulheres a festa passou a ter depois da chegada dos cinco casais?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A) Seja m o número de mulheres e h o número de homens antes da chegada dos cinco casais. Como o número de mulheres era quatro vezes o número dos homens, temos m = 4h. Deste modo, a fração de homens antes da chegada dos cinco casais era

\frac{\text{número de homens antes da chegada dos cinco casais}}{\text{número de pessoas antes da chegada dos cinco casais}} = \frac{h}{m+h} = \frac{h}{4h+h} = \frac{h}{5h} = \frac{1}{5}.

Como \frac{1}{5} = \frac{20}{100}, vemos que o percentual de homens na festa antes da chegada dos cinco casais era 20\%.

B) Após a chegada dos 5 casais, o número de homens passou a ser h+5 e o de mulheres m+5. A fração de homens na festa passou a ser então

\frac{h+5}{(m+5)+(h+5)} = \frac{h+5}{4h+5+h+5} = \frac{h+5}{5h+10}

Como a porcentagem de homens na festa passou a ser 26\%, temos a equação

\frac{h+5}{5h+10} = \frac{26}{100} = \frac{13}{50}

donde

\begin{gathered} 50(h+5) = 13(5h+10) \\ 15h = 120 \\ h = 8 \end{gathered}

Como m = 4h segue que m = 32 ; logo haviam h+5=13 homens e m+5=37 mulheres na festa depois da chegada dos cinco casais..

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Resolução comentada

a) Se havia h homens, havia 4h mulheres, e o total era h+4h=5h. A fração de homens era

\frac{h}{5h}=\frac{1}{5}=20\%.

Esse valor não depende de h. Resposta: 20%.

b) Cada casal que chega traz um homem e uma mulher. Com cinco casais, ficam h+5 homens e 4h+5 mulheres, num total de 5h+10 pessoas. Os homens são 26\% do total:

\frac{h+5}{5h+10}=\frac{26}{100}.

Multiplicando em cruz: 100(h+5)=26(5h+10).
Desenvolvendo: 100h+500=130h+260.
Isolando h: 240=30h, logo h=8.

Antes havia 8 homens e 32 mulheres. Depois da chegada dos casais há 8+5=13 homens e 32+5=37 mulheres, num total de 50 pessoas.

Conferindo: \frac{13}{50}=0{,}26=26\%. ✓

Resposta: 13 homens e 37 mulheres.

Assuntos: Porcentagem, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 2. Prova oficial ↗