Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

Quincas Borba uniu quatro blocos retangulares de madeira, cada um com 4 cm de comprimento, 1 cm de largura e 1 cm de altura, formando o objeto mostrado na figura.

Bloco retangular de madeira com dimensões indicadas: 4 cm de comprimento, 1 cm de largura e 1 cm de altura.

Objeto tridimensional formado pela junção de quatro blocos retangulares de madeira idênticos, organizados em formato de moinho ao redor de um espaço central, com faces perpendiculares entre si.

A) Qual é o volume deste objeto?

B) Quantas arestas tem este objeto?

C) Qual a área da superfície deste objeto?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Quincas Borba uniu quatro blocos retangulares de madeira, cada um com 4 cm de comprimento, 1 cm de largura e 1 cm de altura, formando o objeto mostrado na figura.

Bloco retangular de madeira com dimensões indicadas: 4 cm de comprimento, 1 cm de largura e 1 cm de altura.

Objeto tridimensional formado pela junção de quatro blocos retangulares de madeira idênticos, organizados em formato de moinho ao redor de um espaço central, com faces perpendiculares entre si.

A) Qual é o volume deste objeto?

B) Quantas arestas tem este objeto?

C) Qual a área da superfície deste objeto?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A) O volume de cada bloco é igual à área da base multiplicada pela altura, isto é, 4 \times 1 \times 1 = 4\text{ cm}^3. O volume do objeto formado por estes blocos é igual à soma dos volumes dos blocos, ou seja, é 4 \times 4 = 16\text{ cm}^3.

Para apresentar a solução dos itens (b) e (c), vamos imaginar o objeto colocado sobre uma mesa, na posição indicada na figura.

[Figura: Representação em perspectiva do objeto formado pelos quatro blocos de madeira, indicando as medidas de 1\text{ cm} na altura da extremidade frontal, 3\text{ cm} na extensão de contato de um dos blocos e 4\text{ cm} no comprimento da base do bloco inferior direito.]

B) Contamos 12 arestas em contato com a mesa, outras 12 na parte superior do objeto e 12 arestas perpendiculares à mesa, num total de 12 + 12 + 12 = 36 arestas.

C) A superfície do objeto em contato com a mesa consiste de quatro retângulos de área 4 \times 1 = 4\text{ cm}^2 cada um; o mesmo acontece com a parte superior do objeto. As faces perpendiculares à mesa são quatro retângulos de área 4 \times 1 = 4\text{ cm}^2, outros quatro de área 3 \times 1 = 3\text{ cm}^2 e quatro quadrados de área 1 \times 1 = 1\text{ cm}^2. Assim, a área da superfície do objeto é 4 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 3 + 4 \times 1 = 64\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a)

O objeto é formado por quatro blocos de 4\times1\times1. Eles apenas se encostam, sem se sobrepor, então o volume é a soma dos volumes dos blocos.

V = 4\cdot(4\cdot1\cdot1)=16\ \text{cm}^3

Volume: 16\ \text{cm}^3.

b)

O objeto tem altura 1 cm e é um prisma. Sua base é um polígono em forma de moinho, com os quatro blocos se encontrando no centro.

Percorrendo o contorno desse polígono, cada braço contribui com 3 vértices: duas pontas do extremo livre do braço e um canto onde ele encontra o braço vizinho. Isso dá 4\cdot3=12 vértices e 12 lados.

Arestas da face de cima: 12.
Arestas da face de baixo: 12.
Arestas verticais, uma por vértice do contorno: 12.

Total: 12+12+12=36.

36 arestas.

c)

Um bloco isolado tem área 2(4\cdot1+4\cdot1+1\cdot1)=18\ \text{cm}^2. Quatro blocos somam 4\cdot18=72\ \text{cm}^2.

Ao juntar os blocos, cada bloco encosta no vizinho por uma face de 1\times1. Há 4 contatos, e cada um esconde 1\ \text{cm}^2 de cada um dos dois blocos, ou seja, 2\ \text{cm}^2 por contato. A área escondida é 4\cdot2=8\ \text{cm}^2.

A=72-8=64\ \text{cm}^2

Conferindo pelo prisma: as duas bases têm 16\ \text{cm}^2 cada, pois a área da base é igual ao volume dividido pela altura 1. O perímetro da base é 4\cdot(4+3+1)=32\ \text{cm}, e a altura é 1. Então 2\cdot16+32\cdot1=64.

Área da superfície: 64\ \text{cm}^2.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Poliedros e relação de Euler.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗