Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Resolução comentada

a)

A área da folha é a soma das áreas dos 9 quadrados:

Área = 1056\ \text{cm}^2.

b)

Fatorando, 1056=2^5\cdot 3\cdot 11. Como o quadrado de lado 18 cabe na folha, os dois lados medem pelo menos 18. Isso deixa três possibilidades: 22\times 48, 24\times 44 e 32\times 33.

Vamos descartar as duas primeiras. Se o lado menor fosse 22 ou 24, sobraria ao lado do quadrado de 18 uma faixa de largura 4 ou 6. Essa faixa é preenchida por quadrados de lado no máximo 6, e os únicos disponíveis são 1 e 4. O lado do quadrado de 18 mede 18 cm e precisa ser todo encostado em parede ou em quadrados vizinhos. Os vizinhos, com lados 1 e 4, somam no máximo 4+1=5 cm, o que é insuficiente. Logo essas medidas são impossíveis.

Sobra 32\times 33, e o item c) mostra que ela realmente pode ser montada.

Dimensões: 32\ \text{cm}\times 33\ \text{cm}.

c)

Use a folha de 33 cm de largura por 32 cm de altura. Posições dos quadrados, medidas a partir do canto superior esquerdo (x para a direita, y para baixo):

1. 18: x de 0 a 18, y de 0 a 18.
2. 15: x de 18 a 33, y de 0 a 15.
3. 14: x de 0 a 14, y de 18 a 32.
4. 4: x de 14 a 18, y de 18 a 22.
5. 7: x de 18 a 25, y de 15 a 22.
6. 8: x de 25 a 33, y de 15 a 23.
7. 10: x de 14 a 24, y de 22 a 32.
8. 1: x de 24 a 25, y de 22 a 23.
9. 9: x de 24 a 33, y de 23 a 32.

Esquema da folha:

+------------------+---------------+
|                  |               |
|        18        |      15       |
|                  |               |
|                  +-----+---------+
|                  |  7  |         |
+-----------+---+--+     |    8    |
|           | 4 |  |     +-+-------+
|           +---+--+-----+1|       |
|    14     |             |   9   |
|           |     10      |       |
+-----------+-------------+-------+

Na figura, o 4 fica sob o 18 e à esquerda do 7. O 1 fecha o espaço de 1\times1 entre o 7, o 8, o 9 e o 10. As laterais fecham: o 18 e o 15 somam 33 no alto, e o 18 e o 14 somam 32 na lateral esquerda. A montagem preenche toda a folha, sem sobras.

Montagem: a descrita acima, com os 9 quadrados na folha 33\times32.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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