Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

Praça quadrada de lado 10 contendo um quadrado central rotacionado identificado como grama e quatro triângulos retângulos nos cantos identificados como pedra.

Um prefeito quer construir uma praça quadrada de 10 m de lado, que terá quatro canteiros triangulares de pedra e um canteiro quadrado de grama, como na figura. O prefeito ainda não decidiu qual será a área do canteiro de grama, e por isso o comprimento do segmento AB está indicado por x na figura.

A) Calcule a área do canteiro de grama para x = 2.

B) Escreva a expressão da área do canteiro de grama em função de x.

Sabe-se que o canteiro de grama custa R$ 4,00 por metro quadrado e os canteiros de pedra custam R$ 3,00 por metro quadrado. Use esta informação para responder aos dois itens a seguir.

C) Qual a menor quantia que o prefeito deve ter para construir os cinco canteiros?

D) Se o prefeito tem apenas R$ 358,00 para gastar com os cinco canteiros, qual é a área do maior canteiro de grama que a praça poderá ter?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

Praça quadrada de lado 10 contendo um quadrado central rotacionado identificado como grama e quatro triângulos retângulos nos cantos identificados como pedra.

Um prefeito quer construir uma praça quadrada de 10 m de lado, que terá quatro canteiros triangulares de pedra e um canteiro quadrado de grama, como na figura. O prefeito ainda não decidiu qual será a área do canteiro de grama, e por isso o comprimento do segmento AB está indicado por x na figura.

A) Calcule a área do canteiro de grama para x = 2.

B) Escreva a expressão da área do canteiro de grama em função de x.

Sabe-se que o canteiro de grama custa R$ 4,00 por metro quadrado e os canteiros de pedra custam R$ 3,00 por metro quadrado. Use esta informação para responder aos dois itens a seguir.

C) Qual a menor quantia que o prefeito deve ter para construir os cinco canteiros?

D) Se o prefeito tem apenas R$ 358,00 para gastar com os cinco canteiros, qual é a área do maior canteiro de grama que a praça poderá ter?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A) Cada canteiro triangular é um triângulo retângulo de catetos x e 10 - x; quando x = 2, estes catetos valem 2 e 8. Logo a área de cada canteiro é \frac{2 \times 8}{2} = 8\text{ m}^2. Como a área total da praça é 100\text{ m}^2 segue que a área do canteiro central é 100 - 4 \times 8 = 68\text{ m}^2.

B) Cada canteiro triangular é um triângulo retângulo de catetos x e 10 - x, tendo assim área de \frac{1}{2} x(10 - x)\text{ m}^2. Como a área total da praça é 100\text{ m}^2, segue que a área do canteiro central é

100 - 4 \cdot \frac{1}{2} x(10 - x) = 2x^2 - 20x + 100\text{ m}^2

Pode-se também notar que o lado L do canteiro de grama é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos x e 10 - x. A área deste canteiro é L^2. Pelo teorema de Pitágoras, temos

L^2 = x^2 + (10 - x)^2 = x^2 + 100 - 20x + x^2 = 2x^2 - 20x + 100

como antes.

C) O custo total dos canteiros é igual a

custo do canteiro de grama + 4 \times (custo de um canteiro de pedra)

O custo do canteiro de grama é 4(2x^2 - 20x + 100) reais e o de um canteiro de pedra é 3 \cdot \frac{1}{2} x(10 - x) reais. Designando por c(x) o custo total dos canteiros em função de x, temos

c(x) = 4 \cdot (2x^2 - 20x + 100) + 4 \cdot \left[ 3 \cdot \frac{1}{2} x(10 - x) \right] = 2x^2 - 20x + 400

O gráfico da função c é a parábola representada ao lado (atenção: este é apenas um esboço do gráfico, sem respeitar a escala ao longo do eixo dos y). O

[Figura: Gráfico cartesiano com eixos x e y. Uma parábola com concavidade voltada para cima ilustra o custo em função de x. No eixo x estão marcados os valores 0, 3, 5, 7 e 10. No eixo y estão marcados 350, 358 e 400. O vértice está no ponto (5, 350). Linhas tracejadas azuis ligam os pontos da parábola aos eixos: (0, 400) e (10, 400) ao valor 400; (3, 358) e (7, 358) ao valor 358; e (5, 350) aos valores 5 e 350.]

valor mínimo de c é assumido quando x = \frac{20}{2 \times 2} = 5; o custo mínimo é então

c(5) = 2 \times 5^2 - 20 \times 5 + 400 = 350\text{ reais.}

D) Se o prefeito construir uma praça cujo canteiro de grama tem área de a\text{ m}^2, então o custo total da praça é 4a + 3(100 - a) = 300 + a reais. Vemos assim que o custo cresce quando a cresce, e deste modo a área máxima do canteiro de grama corresponde ao máximo que o prefeito pode gastar, que é R$358,00. Neste caso temos a equação 300 + a = 58 , donde o maior canteiro de grama que o prefeito pode construir tem àrea de 58\text{ m}^2.

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Resolução comentada

A) Cada vértice do quadrado de grama fica sobre um lado da praça e divide esse lado em dois pedaços, x e 10-x. Assim, os quatro triângulos de pedra são retângulos e congruentes, com catetos x e 10-x.

A área da grama é a área da praça menos a área dos quatro triângulos.

Para x=2, os catetos medem 2 e 8, e cada triângulo tem área \frac{2\cdot 8}{2}=8\ \text{m}^2. Os quatro juntos têm 32\ \text{m}^2.

A_{grama}=100-32=68\ \text{m}^2

Resposta: 68\ \text{m}^2.

B) Cada triângulo tem área \frac{x(10-x)}{2}, então os quatro têm 2x(10-x). Logo:

A(x)=100-2x(10-x)=2x^2-20x+100

Resposta: A(x)=2x^2-20x+100, com 0<x<10.

C) Seja G a área de grama. A área de pedra é 100-G, e o custo total é:

C=4G+3(100-G)=300+G

O custo é mínimo quando G é mínima. Completando o quadrado:

A(x)=2(x-5)^2+50

O mínimo é G=50\ \text{m}^2, em x=5. Então C=300+50=350.

Resposta: R$ 350,00.

D) Como C=300+G, o gasto de R$ 358,00 permite no máximo G=58\ \text{m}^2.

Essa área é possível. De 2x^2-20x+100=58 obtemos x^2-10x+21=0, ou seja, x=3 ou x=7, ambos entre 0 e 10.

Resposta: 58\ \text{m}^2.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗