Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

Numa certa cidade existem apenas duas empresas de táxi, a Dona Leopoldina e a Dom Pedro II. A Dona Leopoldina cobra uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Já a Dom Pedro II cobra uma taxa fixa de R$ 1,00 mais R$ 0,75 por quilômetro rodado.

Tarifas de Táxi
Dona Leopoldina	Dom Pedro II
Taxa de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por km rodado	Taxa de R$ 1,00 mais R$ 0,75 por km rodado

Os amigos Bento, Sofia e Helena trabalham nessa cidade e sempre voltam de táxi do trabalho para casa. Para pagar menos, Helena sempre usa os táxis da Dona Leopoldina e, pelo mesmo motivo, Bento só usa os da Dom Pedro II. Sofia usa os táxis das duas empresas, porque paga o mesmo preço em ambas.

A) Quanto Sofia paga para ir de táxi do trabalho para casa?

B) Qual dos três amigos percorre, de táxi, a menor distância entre seu trabalho e sua casa?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Função afim

Numa certa cidade existem apenas duas empresas de táxi, a Dona Leopoldina e a Dom Pedro II. A Dona Leopoldina cobra uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Já a Dom Pedro II cobra uma taxa fixa de R$ 1,00 mais R$ 0,75 por quilômetro rodado.

Tarifas de Táxi
Dona Leopoldina	Dom Pedro II
Taxa de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por km rodado	Taxa de R$ 1,00 mais R$ 0,75 por km rodado

Os amigos Bento, Sofia e Helena trabalham nessa cidade e sempre voltam de táxi do trabalho para casa. Para pagar menos, Helena sempre usa os táxis da Dona Leopoldina e, pelo mesmo motivo, Bento só usa os da Dom Pedro II. Sofia usa os táxis das duas empresas, porque paga o mesmo preço em ambas.

A) Quanto Sofia paga para ir de táxi do trabalho para casa?

B) Qual dos três amigos percorre, de táxi, a menor distância entre seu trabalho e sua casa?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Segue imediatamente do enunciado que o custo de uma corrida de x quilômetros é 3 + 0,5x reais na Dona Leopoldina e 1 + 0,75x na Dom Pedro II. Um ponto a ser discutido aqui é se devemos pensar em x como um número inteiro ou como um número real, pois o taxímetro avança a cada quilômetro rodado, ignorando frações de quilômetro. A solução apresentada abaixo supõe que x seja um número real, ou seja, que o taxímetro roda continuamente, mas vale (com pequenas mudanças) para o caso em que restringimos x aos inteiros.

A) Seja s a distância entre o local de trabalho e a casa de Sofia. Como Sofia paga o mesmo valor em ambas as empresas segue que 3 + 0,5 = 1 + 0,75s , donde s = 8 . Logo Sofia paga 3 + 0,5 \times 8 = 7 reais pela corrida.

[Se pensarmos em s como um número inteiro, a conclusão é que Sofia percorre de táxi pelo menos 8 quilômetros mas menos de 9 quilômetros de seu trabalho até sua casa.]

B) Sejam agora b e h, respectivamente, as distâncias entre o local de trabalho e as casas de Bento e Helena. Como Helena paga menos usando os táxis da Dona Leopoldina, temos 3 + 0,5h < 1 + 0,75h ,

donde 0,25h > 2 , ou seja, h > \frac{2}{0,25} = 8.

Analogamente, como Bento paga menos usando os táxis da Dom Pedro, temos 3 + 0,5b > 1 + 0,75b , e concluímos que b < 8 . Deste modo, a corrida de Bento do trabalho para casa não chega a 8 quilômetros, e é ele quem percorre a menor distância

[Se pensarmos em b e h como números inteiros, a conclusão é que a corrida de táxi de Bento é de menos de 8 quilômetros, enquanto que a de Helena é de pelo menos 9 quilômetros.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Se Sofia paga o mesmo preço nas duas empresas, a distância x (em km) que ela percorre faz os custos se igualarem:

3 + 0{,}50x = 1 + 0{,}75x

Passamos os termos: 3 - 1 = 0{,}75x - 0{,}50x.
Então 2 = 0{,}25x, ou seja, x = 8 km.

O preço é 3 + 0{,}50\cdot 8 = 3 + 4 = 7 reais. Conferindo na outra empresa: 1 + 0{,}75\cdot 8 = 1 + 6 = 7 reais.

Sofia paga R$ 7,00 (e mora a 8 km do trabalho).

b) Comparando as tarifas: a Dom Pedro II tem taxa fixa menor (R$ 1,00 contra R$ 3,00), mas o quilômetro mais caro. Assim, para distâncias menores que 8 km ela é mais barata, e para distâncias maiores que 8 km a Dona Leopoldina é mais barata. Isso vale porque a diferença (3 + 0{,}5x) - (1 + 0{,}75x) = 2 - 0{,}25x é positiva se x<8 e negativa se x>8.

Bento só usa a Dom Pedro II porque ela é a mais barata para ele, logo a distância dele é menor que 8 km. Helena só usa a Dona Leopoldina porque ela é a mais barata para ela, logo a distância dela é maior que 8 km. Sofia percorre exatamente 8 km.

Assim, Bento < Sofia < Helena em distância.

Quem percorre a menor distância é Bento.

Assunto: Função afim.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗