Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

Em um jogo, cada participante recebe um cartão com 4 números distintos de 1 a 20, dispostos em duas linhas e duas colunas. Os números são sucessivamente sorteados de uma caixa que contém 20 bolas idênticas, que foram numeradas de 1 a 20. Ganha o participante cujo cartão for o primeiro a ter sorteados dois números de uma linha ou dois números de uma coluna.

A) Os cartões \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 5 \\ \hline 12 & 3 \\ \hline \end{array} e \begin{array}{|c|c|} \hline 12 & 1 \\ \hline 3 & 5 \\ \hline \end{array} são equivalentes, porque se um deles ganha o jogo então o outro ganha também.

Descreva todos os cartões equivalentes ao cartão \begin{array}{|c|c|} \hline 7 & 2 \\ \hline 9 & 4 \\ \hline \end{array}.

B) Qual é a probabilidade de que o cartão \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 5 \\ \hline 12 & 3 \\ \hline \end{array} ganhe logo na segunda bola sorteada?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Em um jogo, cada participante recebe um cartão com 4 números distintos de 1 a 20, dispostos em duas linhas e duas colunas. Os números são sucessivamente sorteados de uma caixa que contém 20 bolas idênticas, que foram numeradas de 1 a 20. Ganha o participante cujo cartão for o primeiro a ter sorteados dois números de uma linha ou dois números de uma coluna.

A) Os cartões \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 5 \\ \hline 12 & 3 \\ \hline \end{array} e \begin{array}{|c|c|} \hline 12 & 1 \\ \hline 3 & 5 \\ \hline \end{array} são equivalentes, porque se um deles ganha o jogo então o outro ganha também.

Descreva todos os cartões equivalentes ao cartão \begin{array}{|c|c|} \hline 7 & 2 \\ \hline 9 & 4 \\ \hline \end{array}.

B) Qual é a probabilidade de que o cartão \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 5 \\ \hline 12 & 3 \\ \hline \end{array} ganhe logo na segunda bola sorteada?

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A) Dois cartões são equivalentes quando suas linhas e colunas são compostas pelos mesmos quatro pares de números. No caso do cartão \begin{array}{c|c} 7 & 2 \\ \hline 9 & 4 \end{array}, os quatro pares são (7,2), (2,4), (4,9) e (9,7). Os outros cartões que possuem estes mesmos pares em suas linhas e colunas são:

\begin{array}{c|c} 9 & 7 \\ \hline 4 & 2 \end{array}\text{, } \begin{array}{c|c} 4 & 9 \\ \hline 2 & 7 \end{array}\text{, } \begin{array}{c|c} 2 & 4 \\ \hline 7 & 9 \end{array}\text{, } \begin{array}{c|c} 9 & 4 \\ \hline 7 & 2 \end{array}\text{, } \begin{array}{c|c} 2 & 7 \\ \hline 4 & 9 \end{array}\text{, } \begin{array}{c|c} 7 & 9 \\ \hline 2 & 4 \end{array} \text{ e } \begin{array}{c|c} 4 & 2 \\ \hline 9 & 7 \end{array}\text{.}

B) Solução 1: Existem 20 maneiras de sortear a primeira bola. Uma vez sorteada a primeira bola, há 19 maneiras de sortear a segunda (pois não há números iguais nos cartões). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 20 \times 19 maneiras de sortear os dois primeiros números. Este é o número total de casos possíveis para o experimento. Para que o cartão \begin{array}{c|c} 1 & 5 \\ \hline 12 & 3 \end{array} ganhe logo na segunda bola sorteada, os dois números sorteados devem formar uma de suas linhas ou colunas, em número de quatro. Como há duas maneiras de sortear uma linha ou uma coluna, o número de casos favoráveis é 8. Logo, a probabilidade pedida é \dfrac{8}{20 \times 19} = \dfrac{2}{95}.

Solução 2: Para que o cartão ganhe na segunda bola sorteada, a primeira bola deve ter um dos 4 números do cartão. Como há 20 bolas, a probabilidade de isto ocorrer é \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}. Além disso, o número da segunda bola deve ser um dos dois números que estão na linha ou na coluna do primeiro; como agora restam 19 bolas na caixa, a probabilidade disto ocorrer é \dfrac{2}{19}. Assim, a probabilidade do cartão ganhar logo na segunda bola sorteada é \dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{19} = \dfrac{2}{95}.

Solução 3: Podemos pensar nos dois primeiros números sorteados como um subconjunto de dois elementos dos números de 1 a 20, que são em número de \begin{pmatrix} 20 \\ 2 \end{pmatrix} = \dfrac{20!}{2!18!} = 10 \times 19. Este é o número total de casos possíveis para este experimento. Por outro lado, o número de casos favoráveis é 4, que é o número de pares do cartão que estão na mesma linha ou na mesma coluna. Deste modo, a probabilidade pedida é \dfrac{4}{10 \times 19} = \dfrac{2}{95}.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Ganhar significa ter sorteados dois números de uma mesma linha ou de uma mesma coluna. Num cartão \begin{array}{|c|c|} \hline a & b \\ \hline c & d \\ \hline \end{array}, os pares que fazem ganhar são \{a,b\}, \{c,d\}, \{a,c\} e \{b,d\}. Os pares que não fazem ganhar são os das diagonais, \{a,d\} e \{b,c\}.\n\nDois cartões com os mesmos números são equivalentes quando têm os mesmos pares vencedores. Isso acontece quando as duas diagonais são formadas pelos mesmos pares de números.\n\nNo cartão dado, as diagonais são \{7,4\} e \{2,9\}. Os cartões equivalentes são então aqueles em que 7 e 4 ficam numa diagonal e 2 e 9 na outra. Há 2 escolhas para a diagonal onde ficam 7 e 4, 2 para a ordem desses dois números e 2 para a ordem de 2 e 9, ou seja, 2\cdot2\cdot2=8 cartões, contando o próprio cartão dado:\n\n\begin{array}{|c|c|} \hline 7 & 2 \\ \hline 9 & 4 \\ \hline \end{array}\ \begin{array}{|c|c|} \hline 7 & 9 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline \end{array}\ \begin{array}{|c|c|} \hline 4 & 2 \\ \hline 9 & 7 \\ \hline \end{array}\ \begin{array}{|c|c|} \hline 4 & 9 \\ \hline 2 & 7 \\ \hline \end{array}\n\n\begin{array}{|c|c|} \hline 2 & 7 \\ \hline 4 & 9 \\ \hline \end{array}\ \begin{array}{|c|c|} \hline 2 & 4 \\ \hline 7 & 9 \\ \hline \end{array}\ \begin{array}{|c|c|} \hline 9 & 7 \\ \hline 4 & 2 \\ \hline \end{array}\ \begin{array}{|c|c|} \hline 9 & 4 \\ \hline 7 & 2 \\ \hline \end{array}\n\nSão 8 cartões (7 além do dado): os que têm 7 e 4 numa diagonal e 2 e 9 na outra.\n\nb) O cartão ganha na segunda bola quando as duas primeiras bolas formam um par vencedor, isto é, dois números do cartão que estão na mesma linha ou coluna.\n\n1. A primeira bola deve ser um dos 4 números do cartão: probabilidade \frac{4}{20}.\n2. A segunda deve ser um dos 2 números que estão na mesma linha ou coluna do primeiro. Não vale o da diagonal. Sobram 19 bolas, então a probabilidade é \frac{2}{19}.\n\n

P=\frac{4}{20}\cdot\frac{2}{19}=\frac{8}{380}=\frac{2}{95}

\n\nOutra conferência: há 4 pares vencedores entre \binom{20}{2}=190 pares possíveis, e \frac{4}{190}=\frac{2}{95}.\n\n**P=\dfrac{2}{95}\approx 2{,}1\%**

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗